Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

8.5. сходимость функциональных рядов

Выражение вида

л w +л (*)+..+/„ (*)+...= Ел (*), .(8.з)

гдеfx(x),f2(x), ...,f„(x), ... — некоторые функции, определенные

на одном и том же множестве М, называется функциональным рядом.

Множество Q(Q£Af) всех значений х, при которых функциональный ряд (8.3) сходится (как числовой ряд), назьіваеі ;я областью сходимости этого ряда.

Функция S(x)t xeil является суммой ряда (8.3), если 5(х) = 1іт5,,(х),

гТ-ЮО

где 5Я(х) =Л (х) +Л (х) +... +/, (х).

Если функция іУ(х), xeL(Lc£l) является суммой ряда (8.3), то говорят, что функциональный ряд (8.3) сходится на множестве L к функции S (х).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции 5(х), если для любого числа £>0 существует номер N такой, что при n~Z N сразу для всех х є L выполняется неравенство

|5(х)-5л(х)|<£.

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если члены функционального ряда fx (х) +f2 (х) + ...+/, (х) +... удовлетворяют на множестве L неравенствам

|/,(*)1^Дл = 1,2, ...),

где сп — члены сходящегося числового ряда Cj + с2 +.. + с„ +то

функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

„           _     sin*   sin2x           sin их

О Пример. Ряд          1          Г--К..Н +   сходится на L=J — со;

I3       2 п

+ со[ равномерно, так как всегда дится. Ф

ЯП пх

1          00 1

и ряд схо-

 

8.6. Функциональные свойства суммы ряда

Если функции /в(х) непрерывны на [а, о], а составленный из

них ряд /1(х)+/2(х) + ...+/,(х) + ... сходится равномерно на этом

отрезке к функции /(х), то:

1°. Функция f{x) на отрезке [а, Ь] непрерывна.

2°. j/(x)dx = J/i (х)dx+f2(х) dx+... + f„(x)dx+....

в          a          a a

О Пример. Ряд l+x+xz + ...+x"~ +... на отрезке [0, 1/2] сходится равномерно к функции —. Тогда

1—*

1П       1/2      1/2      1/2 .

/ 1 dx+ j xdx+...+ J x   dx + ...= I       

оо        о          о 1— •*

ИЛИ

- + — +— + ...+           + ... = ln2. •

2   21 2   21 3 -« Z - л

Если функции /,(х) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь] и на этом отрезке:

а)         ряд/і (x)+f2(x) + ...+/„(x) + ... сходится к функцииДх);

б)        ряд    (х) +/ 3 (х) +...+/" я (х) + ... сходится равномерно, ,

то f(x) имеет на [а, Ь] непрерывную производную и

 

г (х) =л (х) +л (х)+...+/: (х)+....

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |