Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

8.7. степенные ряды

Функциональный ряд

□о

а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)и+      £ а*(х~СУ> (8-4)

 

где о, (п = 1, 2, ...) и е — некоторые числа, называют степенным

рядом с центром в точке с.

Возможны лишь следущие три случая:

степенной ряд (8,4) сходится только при х = с (всюду расходящийся ряд);

степенной ряд (8.4) сходится (притом абсолютно) при любом значении х (всюду сходящийся ряд);

существует число R>0 такое, что ряд (8.4) сходится абсолютно при | х — с | < Л и расходится при | х—с | > R (R — радиус сходимости ряда).

Кроме того, считают: R=0 для всюду расходящегося ряда и Л = +оо для всюду сходящегося ряда.

Интервал ]с — R, c+R[, R>0, называют интервалом сходимости степенного ряда (8.4). При этом на концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

О Пример.. Найдем область сходимости степенного ряда

X       Xі х*

— +     : + ...+  + ....

1-2   2 22

Я • 4.

Положим ип=^—, w„+i=— . Тогда

 

иГ'.Д-2"      |х|        „ х

lim       = lim    —— bm          =—.

л-» ц,     я_,00(п-(-І)2',+ 1 х \"     ^ «-"0ІІ+1 2

 

По признаку Даламбера степенной ряд сходится абсолютно при | х | < 2, а при [ х | > 2 абсолютной сходимости у него нет. Следовательно, радиус сходимости ряда R = 2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при х = 2 ряд 11-11

2 + 2 + 3 + - ■■ + - + •■•     расходится,     а     при     х=—2 ряд

— -+- — - + ... + (— 1)"- + ... сходится. Таким образом, область 12 3л

сходимости степенного ряда D = [ —2, 2[. #

Основные свойства степенных рядов

Г. Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.

2°. Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если

а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)'' + ...=/(х), xeCl,

то

і     ^   (*-с)   л-   <*-с>"+       г ft ^A

а0(х-с) + а1   + ... + а„           + ... = Дх)йх.

2          л+1 с

3°. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если

а0 + Оі (х-с) + аг (х-с)2 +... + а„ (х-с)"+... =f(x),

xe]c-R, c + R[, R>0,

то

al+2a2{x-c) + ... + nan (х-c)"~1 +... =/' (x), xe]c-R, c+R[.

Это утверждение сохраняет силу и для конца интервала сходимости, если только последний ряд на этом конце сходится. 4°. Если степенной ряд

а0 + й! (х-с)+а2(х—с)г + ... + а„(х—с)"+...

не является всюду расходящимся, то его сумма f(x) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом

г/ч        гч       f'{c) ^(с) a0=f(c), ai=f (с), а2=—-,ай = -~-, ....

2! . л!

 

8.8. Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(x) имеет производные всех порядков при Х~С, то степенной ряд

f(c)+^(x-c) + ...+f^(x-c)" + ... (8.5)

1! л!

называют рядом Тейлора для функции f(x). При с = 0 ряд (8.5) называется рядом Маклорена.

Для того чтобы ряд (8.5) сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы

lim Д,(л;) = 0,

 

где

 

Д,(х)=^—/я+1)[с + б.(х-с)], О<0<1. (л+1)!

 

Таблица разложений в степенной ряд некоторых функций

 

+ ... + - + ... = е, -со<х<+оо; 1!   2! л!

X     X   ,      j .я X

            h—... + (-1)     + ...=smx,

1!    З!    5!      (2л + 1)!

~ао<х< + со;

 

1          +          ... + (-1) — + ..=cosx,

2!   4! (2яУ.

— со<х< 4-оо;

х       X п X

х          1          ... + (-1)           K.. = arctgx, |х|ї$1;

3     5 2л+1

л_^+---+...+(-1)"-1-4-...=1П(]4-х), 2     3     4 л

 

m(m-l) 2         /я(лі-1)...(т-«4-1) „

1+nwH            jt + ..H x +...=

2! л!

= (1+*)".|*|<1.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |