Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

8.9. тригонометрические ряды

Функциональный ряд

-°+У (flr.coswx+6„sinj:), (8.6)

 

где а0- оп, b„, (n= I, 2, ...) — некоторые числа, называется тригонометрическим рядом.

Свойства тригонометрических рядов

Г. Сумма тригонометрического ряда (8.6) является функцией периодической, ее период Т= 2гс.

со

2°. Если числовой ряд £ с„ сходится абсолютно, то ТРИТОНОВІ- i

а      № *>

метрические ряды — + X Сл cos nx а Т. с«sm    сходься равноме-

рно на всей числовой оси.

3°. Если тригонометрический ряд (8.6) сходится равномерно на отрезке [—jt, к] к функции f(x), то

1 " Iя а0 = - f/OOdx, а„ = - f/"(x) cos плох,

Я -ж     Я -к

1 *

А„=- J/(jc)sinnxdx (n=l, 2, 3, ...).

" -я

 

8.10. Ряды Фурье

Пусть f(x) — некоторая периодическая функция периода Т=2п. Тригонометрический ряд

— +    (°i cos пх+Ья sin nx)

2     л-1

называется рядом Фурье для функции fix), если

fl0=- f f(x)dx, а„=- і f(x)cosnxdx, l *

= - J /(д)8шлдс(Ь: (л = 1, 2, 3, ...)-

я -я

Свойства рядов Фурье

1°. Если функция f(x) — четная, то

2 "

6„=0(л = 1, 2, 3, ...), а„--=- f(x)cosnx&x

л о

(и = 0, 1,2, ...). 2°. Если функция f(x) — нечетная, то

2 *

ап=0 (л = 0, 1, 2, 3, ...), Ь„=- f{x)wa.nxdx (11=1,2, ...)-.

3°. В точке л:0, где функция f(x) дифференцируема или по крайней мере имеет конечные односторонние пределы

Jim       и hm   ,

 

ряд Фурье для функции f(x) сходится, причем его сумма равна f(x0). В противном случае сумма этого ряда Фурье может быть отличной от f(x0).

4°. Если функция f(x) периодическая периода Т=21, то ее рад Фурье имеет вид

--+ L e.cos—- + *„sm--d* J,

2    ..і V            ' /

 

где e0.= - J f(x)dx, an=- J/(x)cos—-doc,

1 ' nwt 6„=  J/"(jc)sin — dx(n= 1, 2, 3, .,.). ' -/ 1

5°. Если функция /(x) задана на конечном интервале ] — /, /[, то для того чтобы ее разложить в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию <р (х) периода Т=2/ такую, что

ф(х)=/(х) при —1<х<1.

Если функцию <р(х) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ] —/, /[ этот ряд будет рядом Фурье для функции f{x). О Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f{x) периода Т=21, если

 

0.

Так как функция f(x) является четной, то 6.=0(и = 1,2, 3, ...),

Oq=- f/О) dx= [xdx=

2 л3 / 2

2   / nnx

—        cos —

ПЯ nn I

Отсюда Таким образом,

 

 

Го,

 

 

если л — четное;

4//(пя)2, если л — нечетное.

її       і 1

юс       Зях 5ях

cos—   cos— cos-l

■+—r-+-

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |