Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.12. факториал

Факториалом целого положительного числа п называют произведение 1' 2• 3 ... (я — 1) п.

Факториал числа п обозначают символом и! По определению, 0! = 1.

Например, 2! = 12=2; 3! = 1-23 = 6; 4!=1-2-3-4=24. *   Свойства факториала

Iй         -и         = (2л-1)2л;—   =2п (2и +1).

(л-1)!       (2л-2)!       (2л-1)!

2°. При возрастании п факториал и! растет очень быстро:

к л

lim —=0 (к — любое натуральное число); lim - = 0 (а — любое

п-»оо л!          я->оо л!

положительное число). 12

3°. Факториалы больших чисел можно приближенно оценить по формуле Стирлинга:

е

п! taФ^п ^ J ■ е12", где 0 < в < 1.

1.13. Размещения, перестановки, сочетания

Всевозможные группировки из данных п элементов по иг в каждой, отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо порядком расположения элементов, называют размещениями из л элементов по т.

Например, размещения из трех элементов а, Ь, с по 2: ab, ас, be, Ьа, са, cb.

Число всех размещений из и различных элементов по т обозначают А™ и вычисляют по формуле

А:=п(п-у(п-2)...(п-т+1) = --—

'           _           1^        / (л-/и)!

т множителей

Например, A j=5 4 3 = 60.

Перестановками из п элементов называют их группировки, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов.

Например, перестановки из трех элементов а, Ь, с: аЪс, acb, cab, cba, bca, bac.

Число всех различных перестановок из п различных элементов обозначают Р„ и вычисляют по формуле

Р„=1 2-3...(и-1)-и = и!

Например, Ps = 1 ■ 2 3 ■ 4 5 = 120.

Всевозможные группировки из данных « элементов по т в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называют сочетаниями из п элементов по т.

Например, сочетания из четырех элементов а, Ь, с, d по 2: ab, ас, ad, be, bd, cd.

Число всех сочетаний из п различных элементов по т обозначают С™ или      и вычисляют по формуле

я-(«-1)-(я-2)-(«-и + 1) «!

^ и '

Г23.../и mV{n~m)

5'4'3

Например, С'=—= 10.

Свойства сочетаний

1°. Сі=л; c» = c: = i.

2°. СГ^С;-" (т=0, 1,2, .... л).

з°. сї+сі+с2+... + с;=2л. 4°. соп-сі+с2я-...+(-і?с:=о.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |