Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.11. экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании

Как правило, если исходная задача имеет определенный содержательный смысл, то и двойственная ей задача имеет естественную интерпретацию. При этом теоремы двойственности также получают содержательную трактовку.

Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Имеется т видов ресурсов в количестве bit Ьг, .... Ь„ единиц соответственно. Известно, что на основе имеющихся ресурсов можно выпускать продукцию и различными способами. При этом за единицу времени использования /-го способа (j=l, 2, п) расходуется Qij единиц /-го ресурса (/=1, 2, т) и выпускается продукция, обладающая ценностью с} единиц. Как же оценить имеющиеся ресурсы в зависимости от возможностей нашего производства?

Производственную программу в данном случае можно охарактеризовать вектором a = (jCj,; х2; хп), где х}— время использования 7-го способа производства, причем

я

Y.aijXj^b,, i=l, 2, т,

xj>0,;=l, 2, л.

Пусть Да) — ценность продукции, выпущенной при использовании производственной программы а. Тогда

л

 

Если у і — некоторая оценка единицы ресурса 1-го вида (і= 1, 2, ...

т

/и), то величина £ al}yt будет оценкой всех ресурсов, расходу-1-1

емых в единицу времени при использовании у-го способа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпущенной при тех же условиях продукции. (Иначе часть ценности выпускаемой продукции возникает из «ничего».) Следовательно, имеем

т

^ацу&с},}=,2, ...,п, ■-і

Уі^О, /=1, 2, т.

Величина

<р{В)=±ЬіУі.

1-І

является оценкой всех имеющихся ресурсов при векторе оценок

Р=(уі,   у і, у*.)-

Для любой производственной программы а и при любом векторе оценок р выполняется неравенство

о»),

т. е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов (см. свойство 1° п. 9.9). Значит, величина

Д(а,/Ї)=<?(/?)-Да)

характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой призводственной программы и от выбранных оценок ресурсов.

Производственную программу и вектор оценок следует выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей. Для этого достаточно производственную программу а подобрать так, чтобы /(а) было как можно больше, а вектор оценок р взять таким, чтобы q>(fi) было как можно меньше. Получаем симметричную пару взаимно двойственных задач:

я т

/= Е cjxj (max)>        9=£b* У' (min)'

j-i         і-і

n m

 

Xj^0,j= 1, 2,     n;        jHi^O, j'=1, 2, m.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальной производственной программе и при оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны 0.

Из второй теоремы двойственности в данном случае следуют такие требования на оптимальную призводственную программу а° = (х?; ...: х.°; х^) и оптимальный вектор оценок Г=»ї, ...,УЇ ..;УЇ):

если у°>0, то £а,,х° = 6,, если ^аих^<Ьь то уЧ=0,

 

(9.37)

7-1

если х°>0, то £\%>>,■ = с,, 1-І

еСЛИ ^flyJ^Cy, то х° = 0.

 

(9.38)

 

Условия (9.37) можно интерпретировать так: если оценка Уі единицы ресурса 1-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна 0.

Из условий (9.38) следует, что если у'-й способ используется в производстве, то он в оптимальных оценках неубыточен, если же у'-й способ убыточен, то он в производстве не используется.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |