Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.13. опорные решения транспортной задачи

Условия транспортной задачи удобно записывать в транспортную таблицу, в которой строки соответствуют пунктам производства, а столбцы — пунктам потребления (табл. 9.5).

При этом каждому неизвестному

хч (i=, 2,       т;         2, л)

соответствует клетка (j, J) транспортной таблицы.

Циклом в транспортной таблице называют замкнутую ломаную линию, удовлетворяющую следующим трем условиям:

Рис. 9.4

1)        все вершины ломаной находят-

ся в клетках таблицы;

ребра ломаной расположены по строкам или по столбцам таблицы;

к каждой вершине подходят ровно два ребра, причем одно — по строке, а другое — по столбцу (рис. 9.4).

Пусть <х=(хп;

Набор клеток транспортной таблицы называют ацикличным набором, если не существует цикла, все вершины которого расположены в клетках этого набора

...; х\%п) — допустимое решение транс-

портной задачи (9.39) — (9.42). Ненулевые координаты а запишем в соответствующие клетки транспортной таблицы 9.5. Допустимый вектор ос является опорным решением транспортной задачи тогда и только тогда, когда набор заполненных клеток ацикличен.

Опорное решение транспортной задачи можно построить методом «минимального элемента». Для этого среди всех клеток табл. 9.5 выбираем клетку с наименьшим си (если таких клеток несколько, то берем любую из них).

Пусть (г, s) — такая клетка. Полагаем xrj = min{a,, bs}. Если xn=ar, то, заменив Ь, на b,= b3—ar, вычеркиваем r-ю строку транспортной таблицы. При х„=Ь, заменяем число аг на а,—а,—Ь, и вычеркиваем s-іл столбец (если х„ = ar — bs, то вычеркиваем r-ю строку н s-н столбец одновременно). В результате получаем новую таблицу меньшего размера, для которой повторяем указанную процедуру. Через конечное число шагов будет построено опорное решение.

Предположим, что а = (х°и; ...; хЦ ...; х°„) — некоторое опорное решение транспортной задачи. Ненулевые координаты а запишем в соответствующие клетки транспортной таблицы. Если заполненных клеток окажется меньше, чем т + п—1 клетка, то дополнительно в некоторые клетки допишем нули так, чтобы в результате образовался ацикличный набор из т + п—1 заполненных клеток (в этом случае векторы условий, соответствующие заполненным клеткам, составляют базис опорного решения а).

Потенциалами опорного решения а называют числа ы, (i=l, 2,     т) и vj (/'= I, 2,     п) такие, что

и,+Ч=си (9.43) для всех заполненных клеток (j, j).

Соотношения (9.43) представляют собой систему т+п— 1 линейных уравнений с т+п неизвестными. Эта система всегда совместна, причем одно из неизвестных можно положить равным любому числу и тогда все остальные неизвестные определятся однозначно.

Достаточное условие оптимальности опорного решения. Пусть Ui (і= 1, 2, m) и ьґ (/= 1, 2, п) — потенциалы опорного решения а транспортной задачи (в транспортной таблице заполнены клетки, образующие ациклический набор).

Если для всех незаполненных клеток (i,J) ы,+иу< Сц, то а — оптимальное решение транспортной задачи.

О Пример. Рассмотрим опорное решение а, ненулевые координаты которого записаны в транспортную таблицу (табл. 9.6).

Для отыскания потенциалов данного опорного решения необходимо найти некоторое решение системы линейных уравнений:

+     2,   и3+у2 = 8,

"2 + «1 = 1» і«3+«з~13,

 

Полагая их — 0, получаем v1 = 2, и2 - — , v2=4, и3 = 4, и3 = 9, w4=3. Проверка показывает, что для всех незаполненных клеток

Следовательно, данное опорное решение оптимально.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |