Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

9.25. простейшие задачи вариационного исчисления

Последовательность п функций Х (t), х2 (/), хп (t), определенных на некотором отрезке [/0, 7]> называется вектор-функцией х (г) на этом отрезке, т. е.

£(/) = {*! (t);x2(ty,...;x„(t)}. (9.78)

Вектор-функция (9.78) называется дифференцируемой, непрерывной или кусочно-непрерывной на отрезке [t0, Т, если все функ

 

Л*<0] =

•(х, ^, t^dt. x(t)eV; (9,79)

о

3) допустимое множество Q состоит из вектор-функций х (t) = {xl(t); jc2 (/); ...; хП (t)}, удовлетворяющих начальным условиям

*(/о) = *° (9.80)

и конечным условиям вида

x,(T) = xf, ієі, J<=N={1, 2, .., и}. (9.81) Если I=N, то конечные условия (9.81) можно записать в виде

х (Т) = хГ, где xT={xf; xl; ...; х^.

Задаче вариационного исчисления в форме Лагранжа можно придать следующий экономический смысл.

Рассмотрим некоторую развивающуюся экономическую систему. Предположим, что траектория развития системы может быть описана вектор-функцией

*(')={*! (0; *z (0; ...;*„(')},

где х (t) — состояние системы в момент времени t, t0^t^T.

В этом случае функционал (9.79) можно интерпретировать, например, как затраты на траекторию развития х (/) в течение времени    от    /0    до    Т.    Тогда    задача минимизации

(9.79)—(9.81) — это задача выбора оптимальной траектории развития экономической системы, т. е. траектории, удовлетворяющей заданным начальным и конечным условиям (9.80)—(9.81), при которой затраты будут наименьшими.

Если х (/) = {*, (/); х2 (/); хя (/)} — дифференцируемая вектор-функция, то положим

dl

dx (,)

и <0=-

т. е. и (/)={и, (t); щ (t);-„.; ип (*)}, где щ(i) = A^,j=, 2, л

01

Задачу минимизации (9.79)—(9.81) можно записать в виде

Я*)=

77 (х, и, г) dt (min),

(9.82)

 

где

5(0=

(9.83)

при условии, что

х (to)--

х, (T) = xJ, іє/, / с JV={1, 2   л}.

Функция

(9.84) (9.85)

Н (ф, х, и, 0= Ё Ф} (0 • «, (0-^ (х, й, t),

 

где ф (і) = {ф{ (t); ф2 (0;    Ф* (0} — некоторая вектор-функция на отрезке [(0, 7], называется функцией Гамильтона для задачи '(9.82)—(9.85).

Для задачи (9.82)—(9.85) имеет место следующее необходимое условие оптимальности. Пусть функция F (х, и, f) непрерывно дифференцируема, как функция своих аргументов. Если непрерывно дифференцируемая вектор-функция х* (/) является оптимальным решением задачи (9.82)—(9.85), то существует непрерывная вектор-функция ф* (і) = {ф (і); ф (')і     Фя (0} такая, что пара

х* (i), iff* (t) удовлетворяет следующим условиям:

dii. ■ dF

-р = -,І=1,2, л;

dt 3xj

^=0,7=1,2, .... и; Bui

3) ф, (7) = 0, ieNI, где Н (ф, х, и, t) — функция Гамильтона.

 

Приведенное необходимое условие оптимальности не является достаточным.

Для того чтобы х* (/) было оптимальным решением задачи (9.82)—(9.85), достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f[x*(t)+n(t)]-f[x*(t)}>0 (9.86)

при любой дифференцируемой вектор-функции  H (Г) = {А, (/); h2 (t);    К (')} такой, что А, (/0) = 0,/= 1, 2,    л, А, (7)=0, /є/. Рассмотрим задачу минимизации

і

(«f+"l+4x2)d/,

о

d,r, dxj где Ui=—, и2 =—, при условиях, что dr dt

jel(0) = JtI(0) = 0,x1(l)=l.

В данном случае функция Гамильтона имеет вид

# = ф ,Ui + ^2ц3 - (ы Ї+и І + 4х2).

Необходимое условие оптимальности дает следующие соотношения:

.1)^1-0,^ = 4; dt dt

^-2и, = 0, ^2-2к2=0;

^(1) = 0.

 

Из этих условий получаем: ф = си ф2 = 4і—4, «і —~> u2 = 2f —2. Так как

d^i djc2

— =Иі, — = «2, d< d/

 

то  x|=- f+c2,  x2=/z —2/ + сэ.  Из  условий, x, (0)=x2 (0)=0,

2

xt (1)= 1 найдем ЛГ[ = t, x2 — t2-2t. С помощью достаточного

условия (9.86) можно проверить, что вектор-функция х* (') — {'! t2 — 2t) является оптимальным решением нашей задачи. #

9-421 257

9.26. Задачи оптимального управлення

Оптимизационная задача (V, f, П) называется задачей оптимального управления, если:

1)_ V— множество пар вектор-функций х (с), и (г), где функция х (t)={xi (t); хг (t); х„ (t)) дифференцируема, а функция и (t) = {uj (0; иг (/);и„ (/)} кусочно-непрерывна на отрезке [t^ 7] (tQ, Т фиксированы);

2)        целевая функция /имеет вид

Т !

f[x(t)rZ(t)]^ F(x, u,t)dt; (g.g?)

 

3) допустимое множество Q £ V удовлетворяет следующим условиям:

а)         65Ц^ [хг и, t]J= 1, 2,     п, (9.88)

dr

б)        при любом t, t0^t^T,

u(t)eU, (9.89)

где U—фиксированное замкнутое подмножество пространства R";

в)         х (t0) = x°, (9.90)

Xi (X)=xJ, ієі, I £ N={1, 2,     «}. (9.91)

Например, задача вариационного исчисления (9.82)—(9.85) является задачей оптимального управления.

Экономический смысл задачи оптимального управления. Рассмотрим некоторую экономическую систему. Предположим, что в каждый момент времени t, t^t^T, на эту систему можно оказывать управляющие воздействия

и, (0, Щ (/), .-, ит (0,

которые выбираются из некоторого допустимого множества U.

Вектор-функция й (t) — {u, (t); щ {t);ит (t)}, (D<t^Т, называется управлением системой.

Если скорость изменения состояния системы в каждый момент времени t зависит от самого состояния х {/) = {х, (t); х2 (/);

...; хя (()}, от управления и it) в от момента времени /, то

dxj       - -

-r=fj[x, и, t],j=, 2, п. of

При заданном управлении ы (t) решение этой системы дифференциальных уравнений является некоторой траекторией развития экономической системы. Траектория развития системы должна удовлетворять некоторым начальным и конечным условиям.

Если и {/) — улравлеш^ a x(t) — определяемая им траектория развития, то пара {х (ґ), и (/)} называется управляемым процессом. Будем считать, что затраты /(х, и) на управляемый процесс (х, и) можно вычислить по формуле

fix, «) =

F [х, и, t] dt.

 

 

Таким образом, задача оптимального управления (9,87)— (9.91) — это задача выбора оптимального управляемого процесса, т. е. управляемого процесса, удовлетворяющего всем приведенным условиям, при котором затраты будут наименьшими.

Функция

л

И      х, и, 0= S     (0 fj (х, й, t)-F(x, й, І), J-i

где і/г (0={^і (0; Ф2 (0; <К (0} — некоторая вектор-функция на [/о, Т, называется функцией Гамильтона для задачи (9.87)—(9.90) (если отсутствует условие (9.91)).

Необходимое условие оптимальности для задачи оптимального управления (принцип максимума Понтрягина). Пусть функции F (х,

«j 0>7j ix> w> 0, j— 1, 2,     n, непрерывно дифференцируемы. Если

(х* {t), и* it)] — оптимальное решение задачи минимизации (9.о7)—(9.90), то существует непрерывная вектор-функция ^* (0 = {<К (0; Ф'ЛО; Ф (0} такая, что функции х* (0, и* (0, ty* it) удовлетворяют следующим условиям1.

 

dr Bxj

Ф:іТ) = 0, 1=1,2, ...,д;

при каждом ге[г0, TJ функция Я (х* (0, (0> 0 достигает при ы= й* (?) максимума по всем uell. Н (х, и, fy, і) — функция Гамильтона для задачи (9.87)—(9.90).

О Рассмотрим задачу минимизации | (мг —4х) dt, где ^=и,

0<и<1, х(0) = 0.

 

Функция Гамильтона в данном случае имеет вид H=j/u — и2 + 4х.

Из условий 1) и 2) находим, что ^ = 4—4/, ґє[0, 1]. Тогда

Я=(4-40и-ы2+4л:.

Максимум этой функции по и, 0<;и^1, достигается при ы=«* (0, где

ы.(л = Я> если о<'<1/2: (2-2f, если 1/2^/^

 

По условию, ——=и* (/). Значит,

rf+c,,        если 0^/^1/2;

х* (t) = <

2t-t2~C2, если 1/2^/^1.

Так как х* (0) = 0, то С — 0.

Из условия непрерывности jc* (г) в точке г=1/2 найдем nocrd янную с2= —1/4. Таким образом,

если 0^1/2, если 1/2^*^1.

Можно проверить, что найденные х* (/) и и* (ґ) составляют оп тимальное решение данной задачи, ф '

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |