Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.4. ситуации равновесия в антагонистических играх

Дана антагонистическая игра

Г = {5,, 52, Я, (j,, 52), Я2 (5,, л2)},

где Si, S2 — множества частых стратегий игроков, a Ht (s,, s2), Н2 (ji, s2), Si є Su s2 є S2 — функции выигрышей этих игроков, причем #2 (Si, S2) = -Hi (SU 5г).

Основные утверждения о ситуации равновесия в антагонистических играх.

1°, Ситуация (si, s\%) является ситуацией равновесия в антагонистической игре Г тогда и только тогда, когда (si s) — се-дловая точка функции выигрыша Н (su s2), т. е. для любых чистых стратегий ^ є Si и s2 є S2 выполняется неравенство

Я, (su s$)^H (si s$)^Hi (si s7). (10.2)

Из неравенства (10.2), в частности, следует, что для любых

ситуаций равновесия (si s°) и (si sty в антагонистической игре Г имеет место равенство

Я.^ЬЯ, (*?,*?).

 

Если (si я і) — ситуация равновесия в антагонистической игре Г, то s° называется оптимальной чистой стратегией первого игрока, si — оптимальной чистой стратегией второго игрока, а число Я1 (si Sj) — ценой игры Г.

2°. Если в антагонистической игре Г первый игрок применяет свою чистую стратегию su то в любом случае он выиграет не

меньше, чем inf Яі (si,'s2).

„           neS2 „

Поэтому первый игрок постарается выбрать свою стратегию так, чтобы inf Hi (su s2) был как можно больше. Второй игрок,

применяя свою чистую стратегию s2, проиграет не больше sup Н (si, s2). Поэтому второй игрок попытается выбрать свою

a,eSi

стратегию s2 так, чтобы sup Hi (j,, s2) был как можно меньше.

ц eSi

Для любой антагонистической игры Г справедливо неравенство

sup (inf Я, (si, s2))< inf (sup Hi (su s2)).

 

3°. Антагонистическая игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновесия тогда и только тогда, когда существуют max (inf Я, (si, s2)), min (sup Я, (sb s2))r/i они равны между собой.

4°. Для того чтобы ситуация s° = (sl s2) являлась ситуацией равновесия в антагонистической игре Г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

inf Hi 0?, s2)=supHi (su s$).

 

О Пример. Первый игрок выбирает некоторое число хє[0, 1], второй игрок, независимо от первого, выбирает число

В ситуации s=(x, у) второй игрок уплачивает первому игроку выигрыш, равный (х-у)2.

Рассмотрим антагонистическую игру

Г = {5..й,#, (х, у), Н2 (х. у)},

где

5, = {;clxe[0, l]),S2 = {yye[0, 1]}; Я, (х, у) = (х~у)2, Нг (х, у)= -Я, (х, у).

Так как

inf Я, (х, у)= inf (х~у)2=0,

yeS2 yeS2

то

шах (inf Яі (х, у))=0.

 

С другой стороны,

 

„ ,     ,   ,      ч1   Ш~>02> если 0<У<Х/2,

xeSi     ,           І    У2,       ЄСЛИ 1/2<У^1.

 

Поэтому

inf (suptfi (х, у)) = 1І4.

 

Так как

sup (inf Я, (x, у))ф inf (supЯ, (x, у)), то в игре нет ни одной ситуации равновесия. #

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |