Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.5. ситуации равновесии в матричных играх

Дана матричная игра Г с платежной матрицей А = (аі,)тхп, В матричной игре Г первый игрок выбирает некоторую строку матрицы А, а второй игрок — некоторый столбец этой матрицы. При этом если первый игрок выбрал і-ю строку, а второй игрок— у-й столбец, то второй игрок уплачивает первому игроку ачединиц выигрыша (/=1, 2,    т; j=l, 2, л).

Ситуация (/о, jo) является ситуацией равновесия в матричной игре Г тогда и только тогда, когда для всех i=l, 2, т и для всех j— 1, 2,     л выполняются неравенства

 

В этом случае число а,^ является ценой матричной игры Г. Если (ig, jo) — ситуация равновесия в игре Г, то первый игрок, применяя чистую стратегию к>, обеспечивает себе выигрыш, не меньший цены игры fl,^. С другой стороны, второй игрок, применяя чистую стратегию /0, не проиграет больше .

Матричная игра Г имеет хотя бы одну ситуацию равновеия тогда и только тогда, когда

max (min щ)= min (max щ).

 

Чистые стратегии ц и jQ соответственно первого и второго игроков являются оптимальными чистыми стратегиями этих игроков, если (/'о, jo) — ситуация равновесия в матричной игре Г.

Чтобы найти оптимальные чистые стратегии в матричной игре, можно поступить следующим образом:

в каждой строке матрицы А выбрать по наименьшему элементу:

min ay, min a2J,     min amj,

 

в каждом столбце матрицы А выбрать по наибольшему элементу:

max а», шах аа,     max ат.

 

Если min йщ,-= max а^, то U и j0 — оптимальные чистые стра-тегии соответственно первого и второго игроков.

О Пример 1. Дана матричная игра Г с платежной матрицей

2 10   3 14 51 А =    8   9   5  6 7 10  8  4  8 12

 

Тогда    min atJ=2,    min a2j—5,    min Ду=4;    max a,, = 10,

14jhs   l^i<5   I <j< 5 l<l(3

max aa = 10, max an = 5, max ай = 14, max a(5= 12.

!«i<3   КіЧЗ    l£i<3 L*<<3

Так как min ay— max а,э= 5, то оптимальные чистые стратегии

игроков i0 = 2, j'o=3. Цена игры равна 5. #

О Пример 2. Матричная игра Г с платежной матрицей

не имеет оптимальных чистых стратегии, так как

max (min а0)=2, a min (maxo,y)=3.

киз і<jo          i*K3 loo

 

10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр

Даны две бескоалиционные игры г лиц:

r={Si,.... skl5г. я; (5),.... я, (j),я; (j)}, г"={5„5*..... s„ н (S),.... я; (дя;

с одинаковыми множествами чистых стратегий игроков.

Игры Г" и Г" называются стратегически эквивалентными, если существуют число />0 и числа Ck (£ = 1, 2,     г) такие, что

Г

для любой ситуации s=(slt sk, .... sr)eS=Y S* имеют место равенства

ffi (*)=/■ я; (5) + Сь к=,2, ...,г.

 

В частности, любая бескоалиционная игра с постоянной суммой стратегически эквивалентна игре с нулевой суммой.

Матричная игра с платежной матрицей Л=(\%)„,„„ стратегически эквивалентна матричной игре с платежной матрицей А = = (ау+к)тхп, где к — некоторое число.

Основное свойство стратегически эквивалентных игр. Стратегически эквивалентные бескоалиционные игры имеют одни и те же ситуации равновесия.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |