Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

10.10. классические кооперативные игры

Пусть К — некоторое конечное множество. Элементы множества К будем называть игроками.

Функция v, определенная на множестве всех подмножеств множества К, называется характеристической функцией множества К, если v (0)=О (0 — пустое множество).

Если v — характеристическая функция множества игроков К, то каждому подмножеству Q множества К поставлено в соответствие число v (Q), равное выигрышу, который могут получить игроки множества Q, действуя совместно.

Характеристическая функция v множества К называется супераддитивной, если для любых непересекающихся подмножеств Р и Q множества К

 

Любое подмножество множества игроков К называется коалицией игроков. В частности, можно говорить о пустой коалиции, о коалиции, состоящей из одного игрока, и т. д. Если множество К состоит из г игроков, то эти игроки могут образовать 2' различных коалиций.

Свойство супераддитивности характеристической функции означает, что суммарный выигрыш непересекающихся коалиций Р и Q не превосходит выигрыша, который могли бы получить игроки, объединившись в коалицию Р [J Q.

Если имеется супераддитивная характеристическая функция v некоторого конечного множества К, то говорят, что задана классическая кооперативная игра Г = {К, v}.

О Пример 1. Пусть К— конечное множество, a b — некоторое число.

Чтобы задать характеристическую функцию v множества К, достаточно для любого подмножества Q множества К положить

v(Q) = Q,

где |б1 — число элементов множества Q. Характеристическая функция v супераддитивна, так как для любых двух непересекающихся подмножеств Р и Q множества К имеет место равенство

V

(PjQ)=v(P) + v(Q). •

О Пример 2. Имеется множество А = {а,, а,, .... а,) продав-

цов некоторого товара и множество B={b        , bjt bm) покупа-

телей этого товара.

Продавец о, 0 = 1, 2, /) может продать xt единиц товара, а покупатель bj (j=l, 2,     т) собирается приобрести у} единиц

этого товара.

Супераддитивную характеристику функции множества К= A J В можно задать, если для каждого подмножества Q множества К положить

О Пример 3. Дана конечная бескоалиционная игра г лиц

Г = {5„ ...,Sk,

:           Sn я, is),     Hk is),     H, is)}.

Можно считать, что К={1, к, .... г) — множество игроков в игре Г. Если Q — некоторое подмножество множества игроков К, то любую ситуацию

г

s = (s„     sk, .... sr)e П Sk

к-

можно представить в виде

 

где se П Sk, se Y[ Sk-

keQ keKQ

Если положить

v(Q)= max (  min    £ Hk(s,f)l

U П Sk JE   П   Sk k*Q J

 

то тем самым будет определена супераддитивная функция множества игроков К. Щ

Если дана некоторая кооперативная игра Г={К, v}, то коалиция К, объединяющая всех игроков, может обеспечить себе выигрыш, равный v (К).

Основная задача в классической теории кооперативных игр — найти распределение выигрыша v (К) между игроками, которое устраивало бы всех игроков.

Если все игроки кооперативной игры Г = {К, v) пронумерованы, то можно считать, что К={1, 2,г}. В этом случае выигрыш коалиции, состоящей из одного Jk-ro игрока, будет равен v (к) (к =1,2,     г). Тогда

v       ... + v (к)+ ... + v (r)^v (К).

Кооперативная игра Г = {К, v) называется существенной, если v(l) + ... + v(k)+...+v(r)<v(K), и несущественной, если

v (1) + ... + * (*) + ... + » (г) = 11 (К).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |