Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.17. многочлены

Многочленом от неизвестного д: называют выражение вида

а0хл + а1х'' ' + ... + a„-iX + a,

где до,            Дп-і, Дя — некоторые числа.

Числа oq,  а,              а„_ і — коэффициенты  при степенях л:,

а а„ — свободный член многочлена.

Наивысшую степень х, входящую в многочлен с ненулевым коэффициентом, называют степенью многочлена. Степень многочлена / (х) обозначают degf (х).

Два многочлена считают равными, если при одинаковых степенях х стоят равные коэффициенты.

Многочлены можно складывать и перемножать. Например, если f(x)~x3 — 2х2 — 3, а <р (х)=х2 — х+2, то

f(x) + <p (х) = (х*-2х2-3) + (х2-х + 2)=х*-х2-х-1; /(х)<р(х) = {хъ-2х2-3) (xz-x + 2) = xs-2x4--3x2-~ х4 + 2х3 + Зх+2хъ ~4х2 - 6 = х5 - Зх4 + Ах3 - 7х2 + Зх-6

Для любых двух многочленов f(x) и q> (х) можно найти такие многочлены q (х) и г (х), что

f(x)=<p(x)q{x) + r{x),

где degr (x)<deg(p (х) или г (х) = 0. Многочлены q (х) и г (jc), удовлетворяющие этому условию, определены однозначно. Их

 

соответственно называют частным и остатком от деления / (х) на (р (х).

О Пример. Разделить многочлен f (х) = 2хъ~Ъх2--5х—4 на ф(х)=х2-4х+3.

Имеем

2лг3-Зл-2 + 5*-4 х2-4х+3 2jc3-8jc24-6x 2х+5

5д:2- х-4 5л:2-20д:+15

19х- 19

 

Здесь q (х) = 2х+5 — частное, г (х)= 19*—19 — остаток от деления / (х) на (р (л). #

Если остаток от деления многочлена / (х) на многочлен <р (х) тождественно равен 0, т. e.f(x) = <p (х) q (х), то говорят, что/(.х) нацело делится на q> (х). Число ос называют корнем многочлена

f{x) = a0xn+alxn~~^ + ... + an-ix + a„, если

/'(a) = aoCt + ata" 1 +   + а„-іа + ая = 0.

Например, число х-2— корень многочлена f (х) = Ъх3 — 2хг — -10x4-4, так как/(2) = 3-23-222-10'2 + 4 = 0. Свойства корней многочлена

1°. Многочлен степени п не может иметь более чем л различных корней.

2°. Если а — корень многочлена / (х), то/ (х) нацело делится на (х- а), т. e.f(x) = (x-a)q (х).

3°. Корни многочлена ахг + Ьх + с (второй степени) можно найти по формуле /

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |