Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

12.3. интерполяционная формула лагранжа

Пусть поставлена задача о построении фунхции такой, что L(xk)=f(xk), к—0, 1, 2, л. Часто такие функции строят в виде обыкновенных многочленов

L (х)=а0+а1х+а2х2 + ...+аяхя.

Чтобы найти коэффициенты щ интерполирующего многочлена возможно низшей степени, принимающего в точках х0, х±, .... х„ заданные значения, нужно решить систему уравнений относительно О).

' а о+a j х0+а 2х I+... + а, х 3 = у0,

<*о++ а2х +... + йп х =ух,

а0+аіх2 + а2хі+... + апхї=уї. -<12'1)

. а0 + а &+аг х +... + ая х "я=уй,

 

где )>, =/(*,) (і = 0, 1, 2, я).

Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (12.1), называется интерполяционным многочленом Лагранжа L*(x) для функции f(x) и может быть записан в виде

■ (х-хв)(х-х1).-.(х-Хі-і)(х-хі+і)...(.х-хв)

Ln(x) = У        —        .           —у1.

(_0 (Xt-X^fa-Xi) ... (Xi~X(- d(Xi~Xl+i)... (Xj-Xn)

Интерполяционная формула Лагранжа при п=2 имеет вид

L2(x)=y0        +Уї      h

(**-*і)(*о--*ї) С*і--""о)(*і-*ї) (x-jf0)(x-jc,)

+ ^2"

(*і-*о)(*і-*і) при П — Ъ — ВИД

,  , ч         (х-х1)(х-х2)(х-х3) (х~х0)(х-х2)(х-х3)

Ln(x)=y0        +yt       +

(*0 - *l) (*0 - xl) (ХВ - ХЪ)    (Х1-Х0)(Х1-Х2)(Х1-ЛГз)

(*-дс0)(ж-ж,)(ж-лг,) (x-xjix-x^ix-xj

+Уі      —        Уз        •

(*а - *о) (Х1 ~хі) (хі - хз)        (хз - хо) Іхі - Х1) (*з -*ї)

О Пример. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках х0 = 1, х1 = 3, х2=6 значения функции уо=10, 7: = 16, у2 = 4.

Подставляя данные значения в интерполяционную формулу L2 (jc), имеем

L,(jc) = 10       h 16    1-4      ,

(і-з)(і-в)     (з-і)(з-б) (б-і)(б-3)

£2(х)=2,8-8,6л-1,4х2. •

 

Заметим, что если функция f(x) задана аналитически и имеет в рассматриваемом интервале достаточное число непрерывных производных, то погрешность, получающаяся от замены f(x) интерполяционным многочленом Лангранжа, равна f(x)-La(x) =   Ґ+)(0,

(л + 1)!

где f — некоторое промежуточное значение между наибольшим, и наименьшим из чисел х, х0, хх .... хя.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |