Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

13.11. числовые характеристики векторных случайных величин

Наиболее важными числовыми характеристиками векторных случайных величин являются математические ожидания, дисперсии и ковариации их составляющих.

При определении математических ожиданий случайных величин используются следующие основные свойства.

1 ^.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M[X+Y) = M[X]+M[Y].

2°. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

M[XY=M[X]M[Y.

В случае зависимых случайных величин математическое ожидание каждой из них определяется на основе условного распределения, которое, в свою очередь, выражается через совместное распределение этих величин.

Математическое ожидание случайной величины X, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием величины X при условии, что другие величины приняли определенные значения.

Для дискретной случайной величины

M[X/yZ = M[X/Y=yZ= t *<Р(*Ш=~ t X>P<J> Pu=P (X= x„ Y=yj), Pj= P (Y=yj). Для непрерывных случайных величин

М[Х(у] = ~-1 xf(x,y)dx,

/ІУ) -00

М[У/х]=-1 ] yf(x,y)dy. А*) Л,

Функция <р(у)=М[Х/у], которая ставит в соответствие каждому у условное математическое ожидание, называется функцией регрессии X на Y.

Функция <p(x)=M[Y(x] называется функцией регрессии Ya&X.

При определении дисперсий случайных величин используются следующие основные свойства.

1 °. Дисперсия произведения случайной величины X на постоянную С равна произведению дисперсии случайной величины X на квадрат постоянной:

D[CX] = C2D[X],

2°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D [Xt +Хг +... +XJ=3[Xt)+D[XJ+... + D [JSTJ.

Одной из важных числовых характеристик взаимосвязанных случайных величин является ковариация.

Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин Xi, X) называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий:

 

Для определения ковариации используется также формула

 

Ковариационной матрицей случайного вектора Х=(ХХ, Х2, Хя) называется матрица К, элементами которой являются ковариации Кі}:

/КХІК12... Кія

 

где ковариации Klt, К22, Кпп представляют собой дисперсии случайных величин Лг1, Хг, Хя.

Определитель ковариационной матрицы называется обобщенной дисперсией.

Часто для определения меры связи случайных величин используется нормированная ковариация, называемая корэффици-ентом корреляции, который определяется по формуле

 

где а и о} — средние квадрати ческие отклонения случайных вели-чин

Корреляционной матрицей случайного вектора X=(Xlt Хг,.... Хя) называется матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции;

'1 Ріг — Рі*

p2l 1 .../>!»

 

чР«і Риг... 1

 

Корреляционная матрица является симметричной матрицей.

 

13.12. Начальные и центральные теоретические моменты случайных величин

Наряду с математическим ожиданием случайной величины рассматривают математические ожидания целых степеней этой величины.

Начальным моментом к-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X*':

Vt = Jl/[**].

Для дискретной случайной величины

л

>-]

Для непрерывной случайной величины

00

v*= j xf(x)ux.

— оо

Начальным моментом первого порядка является математическое ожидание

Центральным моментом fc-ro порядка случайной величины X называется математическое ожидание к-й степени величины (X~Vi)=:(X-Mxy.

 

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

рк= ] (x-Mx)kf(x)dx.

 

Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию случайной величины.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |