Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

13.15. математическое ожидание случайной функции

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется такая неслучайная функция, значение которой при каждом данном значении аргумента / равно математическому ожиданию случайной функции при этом значении аргумента.

Математическое ожидание случайной функции представляет собой функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции.

Математическое ожидание выражается через одномерную плотность вероятности следующим образом:

Mx(t) = M[X(t)]= J xf(x, t)dx.

— оо

 

13.16. Корреляционная функция случайной функции

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется такая неслучайная функция Kx(tv t2), которая для каждой пары сечений аргумента (tv t2) равна соответствующему корреляционному моменту связи.

Корреляционная функция выражается через двумерную плотность вероятности f(x1,x2,ti,t2)c помощью формулы

00 00

K*Oi. 'z)= J 4 (xi-MAh))(x2-MI(t2))f(xu хг, tlt t2)dxxdx2.

-00—00

При f j = t2 корреляционная функция равна дисперсии случайной функции: KK lt t^D^t^).

Нормированной корреляционной функцией случайной функщаА X(t) называется функция

М<1. 'і) гСі. 'г)=   . . ,

 

где стх(і) — среднее квадратическое отклонение случайной фун цин в сечении.

 

13.17. Каноническое разложение случайной функции

Для практического применения случайную функцию обычно представляют в виде канонического разложения.

Каноническим разложением случайной функции Х(() называется представление ее в виде

 

k-l

где vk — центрированные , некоррелированные случайные величины,/^ (г) — неслучайные функции, называемые координатными функциями канонического разложения.

При каноническом разложении случайной функции ее корреляционная функция выражается в виде

*д(^2)=ЇАЛ('іШ'2>. Jt-1

где Dk — дисперсия случайной величины vk.

 

13.18. Стационарные случайные функции

Случайная функция X(t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов t^u t2:

Kx(tlt t2)=Kx(x),

где r=tz-tl.

Случайная функция X(t) называется стационарной в узком смысле, если ее л-мерный закон распределения при любом л зависит только от интервалов t1 — tl, ... и совсем не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В практических задачах обычно применяют понятие стационарной функции в широком смысле.

Каноническое разложение стационарной случайной функции, называемое спектральным разложением, имеет вид

п

X(t) = Mz+ £ (UiCOSWfcf + l^sinCDtO,

 

где и*, vk — центрированные, некоррелированные случайные величины с попарно равными дисперсиями 2)[uJ^Z)[»J=.Djt. Корреляционая функция в этом случае принимает вид

Я*(т)= Е At cos со* т.

к-0

Стационарная случайная функция называется эргодической, если ее характеристики Мх и Кх (т) могут быть определены осреднением по времени одной произвольной реализации на некотором отрезке [О, Т].

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |