Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

14.2. вариационный ряд

Обычно объекты выборки характеризуются некоторыми числовыми значениями. При этом в выборке могут появляться и одинаковые значения. Например, xL может появиться п1 раз, хг — пг раз,     xk—nk раз. Тогда

*

 

і-1

где п — объем выборки.

Наблюдаемые значения х, (і—і, 2, к) называются вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом.

Числа наблюдений п, называются частотами (частостями), а их отношения к объему выборки — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется пере-! чень вариант и соответствующих им частот или относительных j частот

 

 

*1

*1

 

**

*1

я1

»1

 

 

14.3. Полигон и гистограмма

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (xh tii), где Xj — варианты, щ — соответствующие частоты, или точки (xit w), где и», — относительные частоты.

В случае непрерывности значений генеральной совокупности строят не полигон, а гистограмму частот. Для этого весь интервал, в котором заключены наблюдаемые значения, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h. Пусть п, — сумма частот вариант, попавших в г-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, в основании которых лежит интервал А, а высота равна njh (рис. 14.1).

Рис. 14.1

 

14.4. Эмпирическая функция распределения

Пусть пх — число наблюдений, при которых появились значения величин, меньшие х, п — общее число наблюдений. Относительная частота события Х<х, где X— случайное значение величины, равна njn.

Эмпирической функцией распределения называется функция

«і

л

О Пример. Дан вариационный ряд: 2, 3, 4, 5, 8, 10. Составить эмпирическую функцию распределения.

 

Так как при 2<х^3 случайная величина встретилась один раз (*! =2), то F* (х) = 1/6 (2 < дг< 3). При 3<случайная величина встретилась два раза (->с1 = 2, х2 = 3). Поэтому /"*(*)=2/6 =1/3 (3<Ж4). Далее имеем

F* (х) = 3/6 =1/2,     4<х^5,

(л:)=4/6 = 2/3,          5<х<8,

F*(x) = 5/6,    8<*<10,

F*(x)=l, х>10

(рис. 14.2).

Г(х) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

! і

 

О   234 5     8 Ю

Рис. 14.2

 

14.5. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Выборочной средней хш называется среднее арифметическое значений выборочной совокупности.

Если все значения xt выборочной совокупности различны, то

л

 

Если значения выборочной совокупности имеют частоты nt,

nz        пк, то

*

1-і

Выборочной дисперсией а называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборочной совокупности от выборочной средней.

Если все значения х{ различны, то

л

(Xi-x.fln.

i-1

Если значения xt выборочной совокупности имеют частоты л„ то

* _

4,= £ л, (х,-*„)/"■ •-і

Выборочным средним квадраттеским отклонением называется выражение а^^[а.

14.6. Начальные н центральные эмпирические моменты

Начальным эмпирическим моментом k-ro порядка называется среднее значение к-х степеней выборочной совокупности

і

 

(-1

. Начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной Средней а,.

Центральным эмпирическим моментом к-го порядка называется среднее значение к~х степеней разностей jc(—xt:

" -к

і- I

Центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии а.

 

14.7. Оценки параметров распределения

В ряде задач статистики вид закона распределения генеральной совокупности считается известным. Требуется по данным выборки ху, х2, .... хя оценить значения параметров данного закона распределения.

Найти статистическую оценку в* параметра б — это значит найти некоторую функцию от наблюдаемых значений выборки.

Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру:

М[в*] = в.

Смещенной называется статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия — смещенной.

Эффективной называется статистическая оценка, которая имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки (л->оо) стремится по вероятности к оцениваемому параметру:

Р(в* =в)=1.

Л-*со

14.8. Точечная в интервальная оценки

Точечной называется оденка, определяемая одним числом.

Выборочная средняя и выборочная дисперсия являются точечными оценками.

При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае обычно пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Вычисленная по данным выборки оценка 9* является случайной величиной. Случайной величиной является и разность в — в* = ос. Таким образом, при определенном значении в* величина в будет отклоняться от оценки на случайную величину а. Зная распределение величины в*, а соответственно и а, можно вычислить верятность попадания разности В—в* в заданный интервал ] — 5, 8[, где 8 — некоторое положительное число. Обратно, задавая вероятность попадания этой разности в интервал, можно определить величину интервала. Указанная вероятность называется надежностью или доверительной вероятностью оценки параметра в.

Доверительным интервалом называется интервал ]в* — 8, 6* + 8[, который покрывает неизвестный параметр в с заданной надежностью у.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |