Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

14.9. метод моментов

Основой метода моментов является то, что эмпирические моменты рассматриваются как оценки теоретических моментов распределения случайной величины.

Неизвестные параметры теоретического распределения выражаются как функции теоретических моментов. Заменяя теоретические моменты эмпирическими, получают оценки искомых параметров.

О Пример. Найти точечную оценку параметра Я показательного распределения

F(x)=l~e~U,   F(x)=0  при х<0

или

Дх)^^'**, Дх) = 0  при х<0

 

по результатам выборки xlt хг, .... ха.

Теоретический момент первого порядка (математическое ожидание) находится интегрированием:

M[X] = ] xf(x)dx=x] хе~^йх=-: о о

Эмпирический момент первого порядка представляет собой выборочную среднюю. Поэтому

 

откуда Х* = ф

 

14.10. Метод наибольшего правдоподобия

Функцией правдоподобия называется функция L(ff)=p(xlt в)р(хг, в)...р(хя, в),

где xit х2, хя — выборка, р{хи ff)—--вероятности появления значения Xj для дискретной случайной величины или плотности вероятностей для непрерывной величины.

Векторный параметр 6=(ви 02,.... в„) считается неизвестным.

На практике обычно используют логарифмичесхую функцию правдоподобия In L (в).

В качестве оценки в* принимается такое значение параметра, при котором логарифмическая функция правдоподобия достигает максимума. Для этого используют необходимые условия экстремума функции многих переменных.

Необходимые условия экстремума определяются уравнениями правдоподобия:

——— = 0  0 = 1, 2, т).

О Oj

О Пример. Дана выборка xt, х2, .... хя нормально распределенной случайной величины X. Необходимо оценить параметры в1 = Мх, в2 = а х'.

 

L(0)=—=e     * ...—=e     * = -= ] e ;

 

In L (0) = - " In In - " In a I —- £ (jc, - Mxf;

2          2 2ff,(_,

dlnL(0)    1 "

Приравнивая эти частные производные нулю, находим оценки параметров:

я

в'=М'х=^ХіІп = х„ 1-І

e;=(<Tir=£(xl-Xt)iin. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |