Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

14.11. построение доверительного интервала

Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров зависит как от вида закона распределения, так н от знания значений остальных параметров этого закона. Рассмотрим задачу пострення доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина с известной дисперсией сі. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания Мх с заданной надежностью у.

На основании имеющейся выборки получаем точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней

1 "

Хъ—   ^ Xj, п ы

которая является случайной величиной и при нормальном распределении составляющих выборки тоже распределена нормально:

 

/(«)=-?=          ГЄ       * •

 

так как М-х- Мх, <т, = crjy/n.

Вероятность того, что случайная величина х, попадет в интервал ]MX — S, Мх + 8[ находится по формуле

 

Р(МЯ-3<Х1<МХ + 3)= ) f(x)dx=      )  е 2°1Jn cbt=

ifx-l      ^Jlnajy/n Ux-l

=-L ' Ґ е-",/ї(і«=Ф(5^/^-ф(-гч/їі/^)=2Ф(^/^)>

 

X~M*  1    * -^n

где u= -, Ф (z)=—= Je     du — функция Лапласа, обычно

Gxjyjn -Jin 0

задаваемая таблично (см. табл. 1 приложений). Используя очевидное равенство

Р(Мх-6<Х<Мх + 5)=Р(Х-8<Мх<Х+о)

 

и задавая значение этой вероятности (надежности) у, при известных значениях ах и п можно с помощью таблицы функции

Лапласа получить вначале значение S-*Jn/o„ а затем и S.

О Пример. Пусть х, = 5, л=4, ах = 1, уровень надежности у = 0,954.

Определяем значение функции Лапласа: Ф(^/^) = 7/2=0,477.

 

По таблице значений функции Ф (z) находим соответствующее

значение z. В данном случае - =2. Тогда 5=1.

Доверительный интервал ]5—1, 5 + 1[=]4,6[. Следовательно, 4<МХ<6 с вероятностью 0,954.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |