Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.19. графики элементарных функций

Целая рациональная функция (многочлен)

а)         Линейная функция у= ах + Ь (рис. 1.1). Графиком этой фун-

кции является прямая линия. Функция возрастает при а> О и убы-

вает при а<0. Оси координат пересекаются прямой в точках

А (^~~> ®j и В (0* b)- ^ слу4^ ^=0 получаем прямую пропорциональность у = ах (рис. 1.2). График функции проходит через начало координат.

Рис. 1.1

б)        Квадратичная функция у=ах2+ Ьх + с (рис. 1.3). Графиком

функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси

Подпись:
Подпись:
Рис. 1.3

>рдинат. При а>0 ветви параболы направлены вверх, при к 0 — вниз. Ось ординат пересекается кривой в точке В (0; с).

їершина параболы С имеет координаты (        ;           .Абсциссы

   2а     4в J

с,, х7 точек пересечения параболы с осью Ох определяют по

. Ве-

формуле хк 2~-

личины X] и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = Q в том случае, когда оно имеет решения на множестве действительных чисел.

в) Многочлен третьей степени y=*ax3 + bx2 + cx + d (рис. 1.4). Графиком функции явля-

 

Подпись:

л=5IIn-З

 

(а>0)

Подпись:
Рис. 1.5

ется кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и Д = 3дс—b2. В случае Д^О функция возрастает при а>0 и убывает при о<0. Если же А<0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку перегиба К. Ось ординат пересекается кривой в точке В (0; d). Абсциссы точек максимума и минимума х4 и х$ определя-

Подпись: Касательная к графику в точке перегиба наклонена к осиют по формуле х = Ь

3d

 

За

Абсцисса точки перегиба хь равна

Ох под углом а таким, что tga=

 

За

г) Степенная функция у=ах (п> 1 — целое) (рис. 1.5).

Графиком функции является парабола л-го порядка, которая проходит через точки О (0; 0) и Л (1; а) и касается оси Ох в начале координат. При п четном график функции симметричен относите-

Подпись:

 

(а «У

 

Рис: 1.6

льно оси Оу ив начале координат имеет минимум при а>0 и максимум при а<0. При п нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.

Дробно-рациональная функция

а) Обратная пропорциональ-

а

ность у = - (рис. 1.6). Графиком

функции является равносторон- '*ИС- 1-7

няя гипербола, ветви которой симметричны относительно начала координат. Оси координат служат асимптотами графика. В слу

чае а>0 гипербола имеет вершины в точках А (у/а;' у/а), В ( — у/а; -у/а). В случае а<0 вершины имеют координаты Л (~у/а\; у/а), В (у/а\; -у/а).

bx ~t~ Ь

б)        Дробно-линейная функция у —  (рис. 1.7). Графиком

cx + d

функции является равносторонняя гипербола. Асимптотами слу-

d а жат прямая х= — , параллельная оси Оу, и прямая у = -, параден с

лельная оси Ох. Расположение ветвей гиперболы зависит от

be —ad

знака величины Д= .

с* а

в)         ' Степенная функция у = — (л> 1 — целое) (рис. 1.8). Графи-

X

Подпись:
Подпись:  -/ О

/п-четное) (   а>0 J

 

ком функции является кривая гиперболического типа, проходящая через точку (І; а). Оси координат служат асимптотами графика. При п четном график симметричен относительно оси Оу, при л нечетном имеет место симметрия относительно начала координат.

Некоторые иррациональные функции (рис. 1.9). Показательные и логарифмические функции

а) Показательная функция у — а (а > 0, а Ф1) (рис. 1.10). \% -График функции при любом а проходит через точку (0; 1)

и асимптотически приближается к оси Ох. Функция принимает только положительные значения.

б) Логарифмическая функция у — о\%„х{а>0, аф) (рис.

1.11). График функции при лю-

бом а проходит через точку (1;

0) и асимптотически приближа-

ется к оси Оу. Функция опреде-

лена только для положитель-

Рис. l.io           ных значений аргумента х.

 

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Замечание. Важное место в исследованиях многих явлений (в частности, экономических) занимают показательная функция

у=е* и логарифмическая функция у=ах (у = о^х). Число е — иррациональное (еж2,72).

в) Кривая Гаусса j=e (рис. 1.12). График функции имеет одну точку максимума Л (0; 1), две точки перегиба В—;

 

и С       — ), симметричен относительно оси ординат

>/«/    V   у/2 v/e/

и асимптотически приближается к оси абсцисс. Тригонометрические функции

а) Синус и косинус: y~sinx и y=cosx (рис. 1.13). Функции sin х и cos х периодические с периодом 2л.

 

Подпись: Рис. І.І5 Рис. 1.16

б)        Тангенс и котангенс: y=tgx и y=ctgx (рис. 1.14). функции

tgx и ctgjc периодические с периодом 71.

в)         Секанс,   косеканс:   y = secx   и   ^=cosecx   (рис. 1.15);

sec х = 1 , cosecx=^-. Функции secx и cosec х периодические

cos х   sin X

с периодом 2я.

Обратные тригонометрические функции

а) Арксинус и арккосинус: j> = arcsin;c и у = arccos х (рис. 1.16), Функция   j=arcsinx   каждому   действительному числу

хє[— 1, 1] ставит в соответствие угол уе — -, -   такой, что

 

sin V—х. Например, arcsin -=-, так как sin -=-.

2  6      6 2

Функция   у=arccos х   каждому   действительному числу

хє[—1, 1] ставит в соответствие угол у є [0, я] такой, что cosy = x.

Я          It 1

Например, arccos - = -, так как cos - = -.

3          3 2

б) Арктангенс и арккотангенс: y = arctg.x и j> = arcctgx (рис. 1.17). Функция y=arctgx каждому действительному числу хє] — оо, + оо[ ставит в соответствие угол уе] — я/2, я/2[ такой,

что tgy=x. Например, arctgv/3 = re/3, так как tg (я/3) = ч/з.

Функция у arcctgx каждому действительному числу хє] — оо, + со[ ставит в соответствие угол ує]0, я[ такой, что ctgy = x. Например, arcctg 1 = я/4, так как ctg (я/4) = 1.

1.20. Примеры неэлементарных функций и важнейших кривых

Неэлементарные функции

а) у=[х] (читается: «у равно антье х»)— целая часть х. Определяется  как  наибольшее  целое  число,   не превосхо-

 

 

 

 

 

 

2 1

St і

і *i

I

y-signx

 

і   !   і J

X

! 0 і

^         J J

-/

Подпись:
дящее jc (рис. 1.18). Например, [3,24] = 3; [0,7] = 0; [-5,4] =-6.

б) у — sign jc (читается: «у равно сигнум х») — знак числа х (рис. 1.18):

'— I, если :с<0, sign;c=^   0, если х = 0, 1, если х>0.

в) У= W — абсолютная величина (модуль) х (рис. 1.18):

х, если х>0, —лг, если х<0.

 

Важнейшие кривые

Xі у1

а) Эллипс — Н—- = 1 (рис. 1.19).

й2 AJ

Xі у1

б) Гипербола——-=1 (рис. 1.20). а2 А2

в) Парабола х2 = 2ру или у2 = 2рх (рис. 1.21)

іШшятие множества

Понятие «мводквстваожервичных (неопределяемых) понятий математики. Описательно термин «множество» объясняется как совокупность, коллекция, набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по каким-то общим для них признакам. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами ((ёюмволга^еская запись ай означает принадлежность элемента а множеству А. Запись афАячает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Множество А называют подмножеством другого множества Д если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В. В этом случае пишут А Ф (читается: «включается или содержится в В»).

Множества А и? равны (А =В) тогда и только тогда, когда А <Ви В Apr. е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется

пустым и обозначается символом 0. Любое множество содер-

жит 0 в качестве подмножества. Очевидно, А а А; А и 0 назы-

вают несобственными подмножествами множества А. Все

остальные подмножества множества А называют собствен-

ными. „ '

Множество А элементов х, обладающих свойством Р (х), символически записывают в виде А = {х Р(х)}. Например, А = = {х x=2k, к=1, 2, ...} означает, что множество А состоит из четных положительных целых чисел 2, 4, 6, 8, ... .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |