Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел xv методы статистического анализа 15.1. статистические испытания

Исследование свойств изучаемого объекта часто проводят с помощью метода статистических испытаний (метода Мон-те — Карло).

Статистическим испытанием называется специально организованное испытание натурного объекта или его модели с учетом воздействия на объект или модель случайных возмущений.

Моделирование реальных явлений с учетом случайных воздействий иногда называют имитацией.

С помощью метода статистических испытаний решают задачи исследования любого реального процесса, на протекание которого влияют случайные факторы. Этот метод используют также при решении задач, для которых возможно создание искусственной   вероятностной модели.

Примером может служить определение площади криволинейной фигуры.

О Пусть требуется вычислить площадь фигуры S, изображенной на рис. 15.1. Ограничив искомую площадь S площадью прямоугольника Slt находят отношение числа точек N, принадлежащих площади S, к общему числу точек N2 в площади Sl(Sl=ab). Площадь S приближенно находят из отношения

s   N     „   N „

=   , откуда 5=— Sx.

 

При этом закон распределения точек в области Sy должен быть равномерным. #

Еще одним примером использования метода статистических испытаний является вычисление экстремальных значений функций.

Для многоэкстремальных многопараметрических задач определение экстремумов функций с помощью последовательного перебора точек в области определения функции — сложная трудоемкая задача. Использование метода случайного выбора точек в указанной области позволяет с меньшей трудоемкостью и достаточной вероятностью находить экстремальные значения функции.

Примером использования метода статистических испытаний при исследовании случайных процессов является моделирование нестационарных систем массового обслуживания, которые не удается представить в виде стационарных линейных моделей.

При статистическом моделировании случайного процесса случайные факторы (возмущения) представляют в виде конечного набора случайных величин с известными распределениями.

Испытание модели процесса с конкретными значениями факторов называют реализацией случайного процесса в данной модели.

Модель статистических испытаний в общем виде можно представить следующим отношением:

у = А(х, а),

где А — известный оператор преобразования, х — вектор входных неслучайных воздействий, у — вектор выходных параметров, а — вектор случайных параметров с известными законами распределения вероятностей. Условно процесс статистических испытаний модели объекта с учетом случайных воздействий изображен на рис. 15.2.

Задавая последовательность значений случайных величин в соответствии с их законами распределения и осуществляя для каждого конкретного значения этих случайных величин реализацию процесса, получают множество реализаций, которое подвергают статистической обработке для получения статистических характеристик выходных параметров объекта.

Моделирование случайной величины — основное содержание метода статистических испытаний. Исходными при моделировании случайных величин являются случайные величины, равномерно распределенные на промежутке [0, 1]. Другие виды распределений получают с помощью специальных методов преобразования такой равномерно распределенной величины.

Процесс статистических испытаний

обычно осуществляют с помощью ЭВМ.

»   Значения случайных величин для каждой

У      реализации процесса выбирают с помо-

щью датчиков случайных чисел, кото-

рые обычно входят в математическое

Рис. 15.2         обеспечение ЭВМ.

15.2. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности. Среди многих приложений метода наиболее важным является нахождение наилучшего уравнения (функциональной зависимости) определенного вида для представления опытных данных.

Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из двух этапов: на первом выбирают вид искомой формулы, а на втором для данной формулы подбирают параметры. На рис. 15.3 приведены опытные данные, для которых в качестве эмпирической формулы (полученной на основании опытных данных) можно

принять линейную зависимость у = ах+Ь. Для данных, приведенных на рис. 15.4, эмпирическую зависимость целесообразно принять в виде у=ах2 + Ьх+с.

В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму

S=£(y(xd-yd (15.1) ■-і

где Хі, у і — значения опытных данных, у(х,) — значение функции взятое на эмпирической зависимости в точке хь п — число опытов.

В случае линейной эмпирической формулы сумма (15.1) принимает вид

 

а в случае квадратической зависимости — следующий вид:

S=£ (axl+bXi+c-y)2. (15.3)

Минимум функции (15.2) и (15.3) имеют в тех точках, в которых частные производные от 5" по параметрам а, Ь, с обращаются в нуль. В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и Ь:

(-1       1-1 (■

* я

а\%х,+Ьп='£ус

(15.4)

(-і

В случае квадратической зависимости нормальная система состоит из трех уравнений с тремя неизвестными:

 

І-І        1-І       1-1 1-І

н          . п        я я

а £ x* + b £ xj + c £ х(= £х{у-н

j-l         '-■ і

я          я я

і-і

1-і

і-1

Кроме линейной и квадратической зависимости в практических задачах обработки результатов наблюдений используют и другие зависимости, например гиперболическую зависимость

у=а +

(15.5)

 

/Для зависимости (15.5) система нормальных уравнений имеет вид

f           я     j я

1+1 xt i-i

 

{-1 *і І-]

О Пример. Опытные данные о значениях х и у представлены в следующей таблице:

 

X

1

1

3

4

5

6

У

15

10

2

2

„4

-10

Анализ опытных данных показывает, что в качестве эмпирической зависимости можно использовать линейную зависимость у=ах + Ь. Найти методом наименьших квадратов значения а и Ь.

Коэффициенты нормальной системы уравнений находим с помощью таблицы подсчетов (табл. 15.1).

Подставляя полученные в таблице данные в систему уравнений (15.4), имеем

 

Решая систему уравнений (15.6), получаем следующие значения коэффициентов: а ж—4,67, b =19,2. Эмпирическая формула принимает вид

^=-4,67*+19,2. •

Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы; можно лишь догадываться о подходящей форме уравнения по форме кривой, изображающей данные. Однако существуют способы, с помощью которых можно проверить, является ли догадка удачной или нет.

Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя

параметрами, а именно: I) y—ax+b, II) у=ахЬ, III) y=at>, ГУ)

Ъ         1          ' х

у=а+-, V) у=   , VI) у—          , VII) y=algx+b,— эмпиричес-

х          ах+Ь ах+Ь

кую формулу можно выбирать с помощью табл. 15.2.

Для проверки пригодности выбранной эмпирической формулы, используя исходные данные, находят значения х., и у,. Затем сравнивают у3, соответствующее х, в исходных данных,

со значением у,. Бели х, не находится среди исходных данных х„ то соответствующее значение можно определить с помощью линейной интерполяции:

Уі+-Уі

У,=Уі +            (х,-х,),

 

где Хі и хм —промежуточные значения, между которыми содержится xt(Xj<xs<xi+i).

Если величина уЛ—yt большая, то соответствующая эмпирическая формула непригодна.

Зависимости I—VII, приведенные в табл. 15.2, монотонные и, следовательно, пригодны только в том случае, если в исходных данных xi+i~jc,>0, а Уі+—Уі обладает постоянным знаком.

О Пример. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице:

 

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

У

12

35

75

125

210

315

445

' 600

800

Таблица ISJ

Номер формулы

Уг~Уш

Вид змпирич«жой формулы

Подпись:
Подпись: =406Подпись: =23,6Подпись: =23,6
Подпись: =406

 

п III

iv

 

VI

 

VII

 

2+10

■          =(

2

= л/2Л0=

=4,47

 

2

2*1*,

= 3,3

 

2

 

= 3,3

 

/х,хв=4,47

Уї+У*

2

2УіУ„.

 

Уі +У» Уі+У*

210 98,5

210 47

210

47

98,5 196 0,5

112 359

186,4

23,4

307,5

 

y=*ax+b не подходит

 

у ш ахь подходит лучше других формул

у '•аЬ1 не подходит

у—а-і— не под-

X

ходит

1

у*=      не под-

аде-1-й

ходит

•          не под-

ах+Ь ходит

y=agx+b не подходят

 

Подбор эмпирической формулы по приведенным выше критериям приведен в табл. 15.3. #

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |