Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

15.6. методы статистического прогноза

Большое значение в экономике имеет прогноз экономических показателей, который можно осуществить на основе измеренных значений этих показателей на некотором отрезке времени.

Прогноз на основе регрессионных моделей. При проведении прогноза можно использовать уравнения регрессии, составленные для выбранного класса функций, параметры которых, например коэффициенты соответствующих полиномов, находятся на основе метода наименьших квадратов.

В случае полиномиальной функции уравнение регрессии можно представить в виде

л

 

Имея таблицу измерений параметра у в дискретных точках временной оси и выбирая конкретный вид полинома, составляют расчетную таблицу, на основании которой находят коэффициенты а0, ак (к=, 2, л).

Наиболее простым является случай, когда измерения проводятся через равные интервалы. В этом случае каждый интервал г, можно рассматривать как единичный и точки временной оси можно выразить в виде чисел натурального ряда 1, 2, ... . Прогноз на интервал времени т, выраженный в масштабе значений t„ осуществляется по формуле

у {Т+т)=а0+£ак(Т+х)к.

к-)

Для линейной регрессии имеем

у (Т+х)=а0 + а1(Т+х), (15.14)

где Т— общий интервал измерений.

О Пример. Определить прогноз продажи стиральных машин в июле, августе и сентябре, если за первые шесть месяцев года объемы продаж выразились следующим образом:

 

Месяц

1

2

3

4

5

6

Объем продаж

253

232

234

251

297

296

Для решения задачи методом наименьших квадратов составим расчетную таблицу и соответствующие нормальные уравнения:

 

Месяц '(

Объем продаж

Уі

 

ЧУі

1

253

1

253

2

232

4

464

3

234

9

702

4

251

16

1004

5

297

25

1485

6

296

36

1776

I 21

1563

91

5684

 

 

91 d! +21 a0 = 5684, 21 aL + 6 a0 =1563, откуда ax = 12,2,flo = 217,8.

Тогда

y7 = 217,8+12,2 (6 + 1) = 303,2, y8 = 217,8+12,2 (6 + 2) = 315,4, y9 = 217,8 +12,2 (6 + 3) = 327,6.

Прогноз на основе экспоненциального сглаживания. Имеется некоторый временной ряд экспериментальных данных у„ ( = 1, 2,

Т. Из этого ряда можно получить сглаженный ряд с помощью следующего оператора сглаживания:

5,=ссу,+(1-а)5г_,( (15.15)

где а — постоянная, 0<а^ 1, 5о=0.

В результате подстановки соответствующих значений временного ряда получаем выражение

 

S,=aX(l-a)Vs- (15-16)

Оператор сглаживания (15.15) можно вновь применить к сглаженным значениям. В результате получаем оператор сглаживания второго порядка и т. д.:

Sr>=ay,+(-*)S?lu SP>=«S<'4-(1-«)$«,,

 

5<W)=a1S'{v-14(l-a)Sffl.

Для прогноза на интервал т используют прогнозирующий полином

 

коэффициенты которого выражаются через сглаженные значения

Для линейного полинома

Ут+ї = в0+вїІ)т коэффициенты а   и aj71 находят по формулам

 

1 —a

Рекомендуется принимать следующие значения а в зависимости от числа измерений N:

 

N

39

19

8

6

«

0,05

0,1

0,2

0,3

О Пример. Имеется ряд

 

У

2

5

3

8

7

10

1

1

2

3

4

5

6

Найти прогнозное значение у в точке /=8 (т=2). Находим S<1> и Sf

Sl)=ayl = 0,3- 2-0,6,

5У> = atу2 + (1 - a) SР=0,3 • 5+0,7.0,6 = 1,92,

53"=о уз + (1 - a) SУ=0,3. 3 + 0,7 • 1,92 = 2,24,

 

S<P=а+(1 - a) S i'>=0,3 8 + 0,7 ■ 2,24 = 3,97, SS> = ays +(1 - a) S У >=0,3 • 7 + 0,7 ■ 3,97=4,88, Si0=ay6+(1 - a) S V> = 0,3.10 + 0,7.4,88 = 6,42; 5Р=а5і"=0,3.0,6 = 0,18, 5Р=в5?> + (1-а>5Р»=0,3.1,92+0,7- 0,18 = 0,7, S?)=a.Sil) + (l-o)5?,=0,3.2,24 + 0,7-0,7 = 1,16, 5P=e54,>+(l-e)5?,=0,3- 3,97+0,7-1,16 = 2,0, S?> = a 5 ?»+(1 -a) S?>=0,3.4,88 + 0,7 • 2,0 = 2,86, S?> = a S[»+(1 - a) 5?=0,3 ■ 6,42 + 0,7 - 2,86 = 3,93.

Далее находим a06) и af:

я|Р=-25ї)-5Р = 2-6,42-3,93 = 8,91, e |«=^ rjm _ 5^ = ^ [6,42 - 3,93] = 1,07.

Определяем прогнозируемое значение:

уe = 8,91 + 1,07-2= 11,02. #

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |