Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел xvii рыночное равновесие 17.1. технологические множества

Предположим, что э некоторой экономике выделено л видов товаров, с помощью которых можно описать каждое конкретное производство. Это означает, что в множество товаров входят все виды продукции, выпускаемой каждым производителем, а также все то, что затрачивается им в процессе производства.

Производитель П может выпускать продукцию, используя различные производственные процессы. Каждый конкретный производственный процесс, технологически возможный для производителя П , задается л-мерным вектором

 

где у-j (/=1. 2, л) — количество у'-го товара, выпускаемого (расходуемого) 'этим производителем в единицу времени. При этом число уу считается положительным, если >й товар выпускается, и отрицательным, если этот товар расходуется в процессе производства.

Множество У(П) всех производственных процессов, технологически возможных для производителя П, называется технологическим множеством этого производителя.

Технологическое множество У(П) является подмножеством л-мерного пространства R", содержащим нулевой вектор (нуле- -вой вектор соответствует бездействию производителя).

При задании вектора цен на товары р = (р1г pj, ., р„) прибыль я (у) производителя П зависит только от выбранного им производственного процесса y=(ylt у,, у„)є У(П) и определяется равенством

я

)~1

При этих условиях оптимальным для производителя П является тот производственный процесс уеУ(П), при котором достигается наибольшее значение функции п(у).

ЭТО

Если экономика включает т производителей  Пь .... Пт,

технологические множества которых соответственно равны У(Пі),     Y(Ylk),     Г(ПЯ), то множество

T={^fdykykeY<Xlk),k=l,2t...,m}

 

называется совокупным технологическим множеством. Элементы совокупного технологического множества называют совокупными производственными процессами.

Совокупное технологическое множество определяет возможности всего производства в целом.

В большинстве известных моделей относительно совокупного технологического множества делаются следующие предположения.

1°. Совокупное технологическое множество Т является замкнутым подмножеством «-мерного пространства R".

Таким образом, если некоторый л-мерный вектор можно с любой степенью точности приблизить совокупным производственным процессом, то и сам этот вектор является совокупным производственным процессом.

2°._ Совокупное технологическое множеств Т выпукло, т. е. если zt, z2er, а>0, ,83=0, a + fi = , то az1+0z1eT.

3°. rp|R + = {в}, т. е. в совокупном технологическом множестве Г единственным вектором с неотрицательными координатами является нулевой вектор.

Иными словами, не существует совокупного производственного процесса, при котором что-то выпускается, но ничего не затрачивается.

4°. ТГ](-Т) = {в}, т. е. если 0 zеГ, то -гфТ(необратимость совокупных производственных процессов).

 

17.2. Поле предпочтений потребителя

Если в экономике выделено л видов товаров, то стратегией потребителя Q называется л-мерный вектор:

JC=(jCj,       Хр хл),

где Xj (j—l, 2, л) — количество j-го товара, приобретенного (проданного) этим потребителем за некоторый единичный отрезок времени. Число Xj считается положительным, если у'-й товар приобретается, и отрицательным, если этот товар продается.

Относительно множества X(Q) всевозможных стратегий потребителя Q обычно делаются следующие предположения.

1°. Множество X(Q) является замкнутым подмножеством л-мерного пространства R".

Таким образом, если некоторый л-мериый вектор можно с любой степенью точности приблизить стратегией потребителя Q, то и сам этот вектор является стратегией потребителя Q.

2°. Множество X(Q) выпукло, т. е., если хи х2 — стратегии потребителя Q, а>0, /?>0 и a+/f=i, то и вектор axt + fix2 является стратегией этого потребителя.

3°. Множество X(Q) ограничено снизу, т. е. существует число Ь такое, что для всех стратегий х=(хи xJ} х„) справедливы неравенства

x}>b,j=l, 2,п.

Естественно предположить, что потребитель Q, исходя из

потребительских свойств товаров,_всегда может определить_либо

что_одна из двух его стратегий х и у лучше другой (х>у или

у>х), либр что они для него безразличны        При этом

стратегия х не хуже стратегии у(х^у), если х>у или х~у.

Таким образом, можно считать, что на множестве стратегий потребителя Q задано отношение предпочтения, удовлетворяющее следующим условиям^

а)         для любой стратегии xeX(Q) Зс>х;

б)        из условий х^у, y^z, где х, у, zeX(Q), всегда следует, что

x^z;                 _ _

в)         для любых стратегий х, yeX(Q) либо х^у, либо у>х.

Если на множестве стратегий X(Q) потребителя Q задано

некоторое отношение предпочтения то говорят, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q),^).

Отношение предпочтения > на множестве X(Q) называется непрерывным, если множество {(х, у)х>у} является открытым подмножеством прямого произведения X(Q) х X(Q).

Иными словами, непрерывность предпочтения означает, что если для потребителя Q стратегия х0 лучше стратегии у0, а стратегии х- и у достаточно близки соответственно к х^ и у0, то для этого потребителя и стратегия х лучше стратегии у.

Отношение предпочтения > на выпуклом множестве стратегий X(Q) называется сильно выпуклым, если изусловий х>у, х, yeX(Q), ое>0, р>0, а+Р—1 следует, что ах+ру>у.

Предположим, что потребитель Q имеет поле предпочтений, а V — некоторое подмножество множества стратегий X(Q).

Стратегия хвУ является наиболее предпочтительной стратегией в множестве V, если х^у для всех стратегий у в V.

Наиболее предпочтительная стратегия в' множестве всех стратегий X(Q) потребителя Q называется точкой насыщения этого потребителя.

Если при заданном векторе цен на товары p=ipL, —,Pj, ...,р») известен бюджет / потребителя Q, то поведение этого потребителя на рынке определяется наиболее предпочтительной стратегией в множестве стратегий х=(хи хь .... xn)eX(Q), удовлетворяющих бюджетному ограничению

я

 

17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие

Предположим, что в экономике, включающей / потребителей би -і бл ■•■> Qi и т производителей Пх, Пь Пя, выделено п видов товаров.

При этом:

I)         каждый потребитель Qt (i—l, 2, I) имеет поле предпочте-

ний (X(Qt),^i) и обладает некоторой первоначальной собствен-

ностью

a,= (flj,,     ау, aj,

где щ — количество j-то товара, находящегося в распоряжении потребителя

каждый производитель Пк (к=1, 2, т) располагает технологическим множеством Y(n.k), содержащим нулевой вектор;

прибыль каждого производителя П* распределяется между всеми потребителями, доля участия потребителя Qi в прибыли производителя П* задана и равна аЛ        2,    /, к = , 2,т).

Набор из 1+т+1 векторов

[хх,     х„     Хі,у{,ук, ...,ут,р ),

где

х] = (ха,     х'ф    xl,)eX(Qd, i=l, 2, /, УІ^Ои. -, Уф ...,y'kJeY(nk), *=І, 2, т,

а р' = (р'и       /»я) — вектор цен на товары, называется

конкурентным равновесием, если выполняются следующие условия:

1) каждый производитель П* (А= 1, 2, т), используя производственный процесс у I, при векторе цен р' получает максимальную прибыль кк (р *), т. е.

я я

я* (Р *) = Z У *Р j - шах J] yjy і?;, J-l >-l

где максимум берется по всем yk=(yki>    уіф yia,)eY0Jk);

стратегия х*(і=1, 2, I) является наболее предпочтительной среди всех стратегий х,=(х(1, хф хія)єХ(&), удовлетворяющих бюджетному ограничению, т. е.

я          н т

Е р ) хи < Z р) аи + Еа*** *);

У-1      >1 *-1

соблюдается баланс совокупного предложения и спроса по всем товарам, т. е.

/          I т

 

(-і    і-( t-i

 

Конкурентное равновесие в приведенной модели дезагрегированной экономики всегда существует при следующих дополнительных ограничениях (теорема Эрроу и Дебре):

а)         совокупное технологическое множество

г={ t ЯіЯє У(ПД *= 1, 2, mj

выпукло и замкнуто в пространстве R", причем ГПЯ. "+ = {*}. Tf](-T)={9};

б)        множество стратегий X(Qj) (i=l, 2, /) потребителя

Qi является выпуклым, замкнутым и ограниченным снизу в про-

странстве R";

в)         отношение предпочтения ('=1. 2, I) непрерывно

и сильно выпукло на множестве X(Qi) и ни для одного потреби-

теля нет точки насыщения;

г)         первоначальная собственность а,=(а(1, аф аш) (і— 1, 2,

О потребителя Qj положительна, т. е. существует стратегия

Х)=(хц,    хф     x„,)eX(QU такая, что

a,j>x,j,j=if 2, л.

 

Набор векторов (jclt     xh     х,, ylt    ук,    ут), где

х,=(хй,     хи,     Xb)eX(Q,) (/=1, 2,

'Ук = (Уи,    W           Уь.)е У СП*) (*= 1, 2, т),

 

называется совместным распределением производства и потребления, если

11т

Е *у< £ <*ij+ Е Укл j= 1, 2, п.

(-1       4-І *-1

Распределение         xj,        у I, ... , ук         у'„) называется

оптимальным по Ларето, ест не существует распределения (xlt     xh     xh ylt     yk,     ym), удовлетворяющего условиям

x,^ Jc*, i= 1, 2,     /, а для некоторого і

Основное свойство конкурентного равновесия. Если набор векторов

{х,       х', ...>х'„уК...,Ук       Ут,Р')

является конкурентным равновесием в модели дезагрегирован-

ной экономики, удовлетворяющей условиям а)_— г), то соответ-

ствующее распределение (х              х'„      х',, у, .... у, у'т)

оптимально по Парето.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |