Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.22. операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А а В называют множество A (J В всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В; С=А [JB={xхєА или хєВ}.

Пересечением множеств А и В называют множество А (~) В всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В; С=А f] В-{х|хе А и хвВ].

Замечание. Понятия объединения и пересечения могут быть обобщены на случай любого числа множеств (конечного или бесконечного). Если даны множества Аи Аъ     Ак, .... то сим-

00

волическая запись IJ Ак означает объединение данных множеств,

т. е. определяет множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Символическая

со

запись f] Ак означает пересечение данных множеств, т. е. опре-

к-1

деляет множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Разностью множеств А и В называют множество АВ тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В; С=АВ = {ххеА и хфВ}.

Если В с: А, то разность А В называют дополнением множества В до множества А н обозначают САВ,

Декартовым произведением множеств А и В называют множество А х В всех упорядоченных пар элементов (а, Ь), где as А, be В. Элементы а и b называют при этом компонентами (координатами) пары (а, Ь).

Декартово произведение Ах Агх ... хАя множеств Ait А2, А„ представляет собой множество всех упорядоченных л-ок (энок) элементов (fli, аг,       а„), где а^Аи      а„еА„. В частности, декартово произведение RxRx ... хR, где R — множество действительных чисел, определяет л-мерное арифметическое пространство R" (см. п. 3.1). Примеры.

Если А — множество четных положительных чисел, а В— множество нечетных положительных чисел, то А [) В определяет множество натуральных чисел, т. е. множество N=={1, 2, 3, л,

Если А — множество всех чисел, делящихся на 2, а В — множество всех чисел, делящихся на 5, то A f] В определяет множество всех чисел, делящихся и на 2,и на 5, т. е. делящихся на 10.

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а 5={3, 5}, то СЛВ=АВ= {1, 2, 4}, аВА = 0.

Если А = {,2), а В= {З, -1, 0}, то А х В— {(1, 3),(l, -1), (1, 0), (2,3), (2, -1), (2,0)}.

Введенные операции обладают следующими свойствами: 1°. А[)0~А.

2°.А[)0 = 0.

3°. A [j А = A; A f] А = А (идемпотентность).

4°. A{jB=B{jA;Af)B=Bf)A (коммутативность).

5°. A{)(B{JC) = (A{JB){JC; Af](Bf]C)^(A^B)C]C (ассоциативность).

6°. A[j(Bf]Q = (A[JB)f](A[jQ; A f](B[J С)=(А f]B)[j J(A f] Q (дистрибутивность).

Если А с Е и В а Е, то: 7°. CE(A{JB) = CEAf]CEB

алаЕиА[)В)^(ЕА)Г](ЕВу, . *

СЕ (А(]В) = СЕА{)СЕВиіш

Е(А(~]В) = (Е A) [j (ЕВ) — законы двойственности.

Для краткости используются обозначения:

V* — «для любого х»;

Зх — «существует такое х».

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |