Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.26. комплексные числа

Мнимую единицу і определяют как число, квадрат которого равен (—1). Таким образом, i2 = — 1.

Всякое комплексное число представляют в виде z=a+bi (алгебраическая форма записи комплексного числа). Здесь а и b — действительные числа. При этом а называют действительной частью комплексного числа z (a — Rsz), b — его мнимой частью (Ь — ш z).

Если а ~0, то z = bi называют чисто мнимым числом.

Если Ь = 0, то z — a, т. е. комплексное число z равно действительному числу а. Множество действительных чисел, таким образом, есть подмножество множества комплексных чисел.

Два комплексных числа z-i=a + b1i и z2=a2+&2i считают равными (zl=z2), если и только если a, = a2 и bt — b2. В противном случае Zi фгг. Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Всякое комплексное число z=a + bi удобно изображать точкой

(а, Ь) или соответствующим радиусом-вектором на комплексной

плоскости (рис. 1.23). Оси Ох и Оу

прямоугольной  декартовой системы

координат называют при этом соотве-

тственно  действительной  и  мнимой g

осью. Величину р — длину радиуса-ве- *

ктора точки z — называют модулем

комплексного числа z и обозначают z. \%

Угол ц> (в радианах) называют аргу-

ментом комплексного числа z и обо-      &     " а Т

значают <p = argz. Имеют место соот-   Действительная ось

ношения a = pcos<p, b = p\%va.<p. Тогда

z—p (cos <р + і sin q>) — тригонометри-           Рис. 1.23

ческая форма записи комплексного числа; с другой стороны, р = <<Ja2 + b2, tg <р =   при этом 0<р < + оо,

а

а — со < <р < + оо. Более того, для данного комплексного числа z аргумент <р имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на величину Ink (к — целое число). Главное значение аргумента заключено в промежутке —я<<р^я.

Для числа z = 0 (a=b=0) аргумент не определяется, a ]z| = 0.

Имеет место показательная форма записи комплексного числа а+Ы=ре". При этом e'"=cos<j0 + isin<p (формула Эйлера).

2-421

33

Два комплексных числа z и z называют взаимно сопряженными, если они имеют равные действительные части и отличающиеся лишь знаком мнимые _части (Rez = Rez, Imz= — Imz).

Очевидно, что |z|=Jz|, a argz= — argz, так что на комплексной плоскости точки z и z симметричны относительно действительной оси Ох.

При этом

z = а+Ы= р (cos <р + і sin <р) = ре**;

z = а—W=р (cos (р — і sin <f>) = ре-*'.

Пусть даны два комплексных числа Zi = fli + 6i«=pi (cos q>j 4-+ isin<jp|) и г1 = аі+Ь1і=рг (coscpj + i'sin <рг) тогда

1°. z,±za = (e,±flj)+(*,+6a)-i;

2°. Z| г2 = (а,е(2-6|б2) + (в1А2 + азЬ|) i" = pip2 [cos {<pi + <Pi) + +/Sin (</>! +(jJz)].

3°- "=  —        = -[COS (<Pi-<p2) +

22        °2 + *i P2

+ /'sin (<?!- ^2>] (*i t^O).

4°. zxzy-a}+b = p\    zl + z2 = zy + z1;    z,' z2 = zxz2   z}jz2 = ч

5°. z1= pi (cos п(р! +і sin n<pi), где n — целое число (формула Муавра).

В частности,/= — /,/=1,     і     =/ .

,о  » Г    П Г~ (      <Р1+2л*    . .   fl>i + 2itA

6 . -JZi = -Jpi cos       1-/ sin — J,  где  n — натура-

        n            n }

льное число, a k = 0, 1,2,     n — 1.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |