Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.9. линейная зависимость векторов

Система векторов Аи А2, А„ называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа klt к2, кп, которые не все равны нулю, что

А1кі + Агкг + ... + А£Л=*В.

Если же каждая линейная комбинация векторов А,, А2, А„ с коэффициентами к,, к2,     кя, которые не все равны нулю, отлична от нулевого вектора, то система векторов Аи А2, А„ называется линейно независимой.

Система m-мерных векторов А,-Аг, Ая является линейно зависимой, если система линейных уравнений

Аххі + А1х1 + ... + А*п=в (2.10)

имеет ненулевое решение. Если же система уравнений (2.10) не имеет ненулевых решений, то система векторов Аі, А2,     А„ линейно независимая. о Примеры.

1. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений AXY + A2x2+AJx-s = = 0 методом Гаусса:

 

 

х

Ч

ч

 

Ч

ч

*1

*2

ч

 

 

 

ЕЕ

—^

 

 

 

            тг~

 

 

 

 

3

-2

0

-3

2

1

0

0

„13

1

0

5

1

-2

0

ЕЛ

5

0

0

1

-5

0

0

1

-5

0

0

1

-5

0

0

0

0

0

0

4

-7

-1

0

1

-5

0

0

0

0

0

0

Общее решение исходной системы имеет вид

— 13х2+х3 = 0, 5х2 =0.

Эта система имеет ненулевое решение 5, 1, 13. Следовательно, векторы А, А2, А-і линейно зависимы.

2. Выяснить, является ли система векторов

Подпись:

 

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений Ахху-- А2х2+Агхг = = в методом Гаусса:

 

 

 

 

 

 

 

*2

ч

х

 

ч

 

-20

-1

3

0

—*-

-26

РТз!

0

 

0

-15

-1

-1

0

 

-13

(.

 

0

 

0

-4

-4

1-2

0

 

2

2

1

 

0

 

XI

Ч

ч

 

Ч

*2

 

ч

 

 

 

 

1

0

            -^Шг

0

1

 

0

 

 

 

2

0

 

0

 

1 —13|

0

0

0

1

0

 

0

0

 

-2

0

1

0

0

0

 

1

0

Общее решение исходной системы имеет ВИД jc, = 0, х2 = 0, х3=0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Аи А2, Аъ линейно независимы. #

Если каждый из векторов Ви Въ     Вя разлагается по системе векторов Аи А2,      Ат, т<п, то система векторов Вь В2, В„ линейно зависима.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |