Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.13. общее решение системы линейных уравнений в векторной форме

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в векторной форме:

Ліх1+А1хг + ... + Аяхя = В. (2.13)

Если в системе (2.13) заменить все свободные члены нулями, то получим однородную систему

Аіх1 + А2х1 + ...+Аяхя = в. (2.14)

Систему (2.14) называют приведенной для исходной системы уравнений (2.15).

Произвольное решение X совместной системы уравнений (2.13) определяется формулой

X=F0+XlFl + X2F2 + ... + XkFk, (2.15)

где FQ — какое-нибудь решение системы (2.13); Fu F2,     Fk —

Ф

ундаментальная система решений системы уравнений (2.14); і, ... , Хк — произвольные действительные числа, формула (2.15) называется общим решением в векторной форме системы уравнений (2.13).

О Пример. Найти общее решение в векторной форме системы линейных уравнений

Г 2*1+ х2+4х3+ хА=4,

J           х2+ хэ + 2х4=4,

I 2*! + 1х2 + 8jc3 — 5х, = — 4.

Общее решение данной системы, найденное методом Гаусса, имеет вид

х.-(5/2)дс2 + (7/2)х, = 6,

(3/2) *2 + *з-(3/2)*4=-2.

Вектор (6,0, — 2, 0) является решением этой системы. Система уравнений

f *,-<5/2)*2 + (7/2)*4 = 0, 1 (3/2)х2+хэ-(3/2)х4 = 0 является общим решением приведенной системы. Выбирая для свободных неизвестных х2 и Х| значения, равные координатам векторов Є| = (1, 0), е2=(0, 1), найдем фундаментальную систему решений приведенной системы уравнений: Fi = (5j2, 1, —3/2, 0), F2 = ( — 7/2, 0, 3/2, 1). Следовательно, общее решение в векторной форме данной системы уравнений имеет вид

 

2 Л 4. Ортогональные системы векторов

Два вектора называются ортогональными, если их окалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

О Пример. Система векторов Є| = (1, 0,     0), е2~(0, 1, 0),

е„=(0, 0,     I) ортогональна. #

Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

ИСХОДЯ  ИЗ  ЛИНеЙНО  независимой   СИСтеМЫ  ВеКТОрОВ JC[,V...,

jem+i можно построить ортогональную систему ненулевых векторов уи     ут+] по следующим формулам:

 

Уїхг

Уг=      У+х2,

УіУі

 

У[*т+ Ут*т+>

Ут + 1**          Уі         Уг        Ут + Хт+1-

УіУ    УтУг УтУт

Приведенный способ построения ортогональной системы век-

торов уі, уг,.... ут+1 по заданной линейно независимой системе х1г

х2, хт+і называется процессом ортогонализации системы век-

торов xitx2    xm+i.

О Пример. Построить ортогональную систему векторов путем ортогонализации линейно независимой системы xt*=(l, 1, 1, 0),х2 = (0, 1, 1, 1), *э = (0, 0, 1, 1).

Строим систему векторов уи у2, у3:

Уі=х}=(1, 1, 1, 0),

у1=-^У1+Хг=^21Ъ) (1, 1, 1,О)+(0, 1, 1,1)=

УіУі

= (-2/3,1/3,1/3,1),

^з=-^У1-—У2+Хэ = (-1/3)(1, 1, 1,0)-(4/5)х УіУі УгУг

х(-2/3, 1/3, 1/3, 1)+(0, 0, 1, 1)=(1/5, -3/5, 2/5, 1/5). *

 

Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют длину, равную единице. Если хи х2,    х„ — ортогональная система ненуле-

1        і 1 вых векторов, то — xt, — х2,      — х„ — ортонормированная

М     хг Ы

система векторов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |