Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.21. обратная матрица

Квадратная матрица

/ 1 0 ... О

О 1

V

О О

1

называется единичной и обозначается через Е.

Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ=ВА = Е.

Матрица В называется обратной для матрицы А.

Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через А~1.

Квадратная матрица А порядка п обратима тогда и только тогда, когда каждая из п систем линейных уравнений АХ=Е1,

АХ=Е2,     АХ=Е* имеет единственное решение, где Е1, Е2, ....

/хл

Ё — столбцы единичной матрицы, а X—

вектор-стол-

W

бец, координатами которого являются неизвестные х,, хг, х„.

Если матрица А обратима, то единственное решение системы уравнений АХ—Е*, i= 1, 2, п, совпадает с i'-м столбцом матрицы А^1.

Для определения элементов матрицы А ~1 необходимо решить п систем линейных уравнений с п неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

О Пример. Найти обратную матрицу А~1, если

*|

*2

 

 

 

*1

*2

*3

 

 

 

1 0 0

0 0

1

1

1

-5 1

0

1

0

0          1 -3 0

1          0

0 0

1

0

1

0

-4

-5 6

1 1

-1

-3 -3 4

 

Из последней таблицы находим:

единственное решение системы уравнений АХ= Е1

х, = —4, х2 = 6, х3— —5;

единственное решение системы уравнений АХ— Ег Xi — l, х2= — 1,    = 1;

единственное решение системы уравнений АХ— Еъ Х= —* 3, X2~4j   — —3.

Таким образом,

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |