Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.24. симметрические и ортогональные матрицы

Квадратная матрица А называется симметрической, если А —А . Если же А — —АТ, то матрица А называется кососиммет-рической. Элементы aik и а*,, расположенные симметрично относительно главной диагонали, у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической — противоположны.

Если АТ=А-1, то квадратная матрица А называется ортогональной. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее строки или столбцы образуют ортонормированную систему векторов.

 

2.25. Определители квадратных матриц

Назовем произведение п элементов квадратной матрицы правильным, если эти элементы расположены в ее различных строках и различных столбцах, т. е. по одному в каждой строке и каждом столбце.

Если

то произведение аиа22—Я„„ является правильным.

Каждое правильное произведение можно записать в виде

(2.16)

т. е. первый множитель содержится в первом столбце, второй — во втором столбце и т. д. Числа аи а2,а„ — это номера строк, в которых расположены множители правильного произведения (2.16).

Назовем инверсией в последовательности <хь а2, а„ такое расположение индексов, когда больший индекс стоит левее меньшего. Число всех инверсий в последовательности аи а2, обозначим через N (щ,а.ъ а„).

О Пример. В последовательности 2, 4, I, 3 имеется три инверсии (2 находится левее 1, 4 — левее 1, 4 — левее 3). Таким образом, N (2, 4, 1, 3) = 3. •

Перед каждым правильным произведением вида (2.16) будем

писать знак, определяемый выражением (— і)"^1"*2, *я).

Определителем матрицы А называется алгебраическая сумма всех правильных произведений этой матрицы, имеющих знак плюс или минус в соответствии с приведенным выше правилом. Определитель матрицы А обозначают det А или }А.

Применим это определение к матрицам второго и третьего

ко два правильных произведения: апви и «2i«i2> причем первому из них приписывается знак плюс, а второму — знак минус. Следовательно,

 

ви «12

«21 «22

= «ll«22 —«21«12-

Правильные произведения матрицы

«11  «12 «1з «21  «22 «23 «31- «32 «33,

исчерпываются произведениями

«11«22«33, «31«12«2Э, «21«32«13,

«31«22«13,  в21«12«ЗЭ, «Ца32«23.

(2.17) (2.18)

 

причем произведениям (2.17) приписывается знак плюс, а произведениям (2.18) — знак минус. Таким образом,

Подпись:

 

(2.19)

Знаки, которые приписываются правильным произведениям в (2.19), можно запомнить следующим образом.

Соединим пунктирной линией каждые три элемента матрицы, произведение которых входит в (2.19) со знаком плюс. Тогда пблучим следующую легко запоминающуюся схему:

Подпись:
Аналогично, для произведений, входящих со знаком минус,

имеем

 

1-421

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |