Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.27. свойства определителей. вычисление определителей

1°. Определитель матрицы не изменяется при транспонировании.

2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы, т. е.

An ап кац каа ■

 

 

ка*

jan ап

= к

I

«лі ап2

V

3°. Если все элементы і-й строки матрицы п-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых au—bj+Cj,j=l, 2, п, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов bj, а у другой — из элементов с,, т. е.

«12

аія

/«и «і

А

 

b + Ci bi + c2

b„+c„

bi bi ... b„

 

Подпись: V«я2

«я І «я2

fan «и

«Ія

 

С сг ... с„

 

а„2 ■■■ amJ

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5°. Определитель матрицы не изменится, если к 1-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее >ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице порядка л имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы н-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (л — 1).

Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

О Пример. Вычислить определитель матрицы

Подпись:
Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей —вторую, умноженную на —3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на —2, имеем

-2  5-1 3

-9 13 7 3-1   5 -5

18 -7 -10

 

- 13 25            17

-9 13   7

0 26 - 34         - 26

0 36 -33          -24

 

 

:(-1)2+'а21Л/21=-

-13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24

Получен определитель матрицы третьего порядка, хоторый можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем

 

 

-13

25

17

 

 

- 13

25

17

 

 

26

-34

-26

=

2

13

-17

-13

 

 

36

-33

-24

 

 

36

-33

-24

 

 

 

13

25

17

 

 

0

8

4

= 2

 

 

13 -

17 -

13

 

-.2

13 -

17 -

13

 

 

10

1

2

 

 

10

1

2

 

0

2

1

 

0

0

1

 

= 24

ІЗ

-17

-ІЗ

= 8

13

9

-13

 

 

10

1

2

 

10 -

3

2

 

 

 

= 8(

-39-

-90)=-

-1032.

 

 

 

Итак, |4=-1032. •

6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.

7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е.

AB-A-B.

 

2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:

Ах=Ь, (2.22)

где А — квадратная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера

Xi = dt/d, x2=djd,     x„ = djd,

где определитель dj получен из определителя о"=|Л| заменой _/-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений. О Пример. Решить систему уравнений Ах=Ъ, где

Определитель матрицы системы

1 -1|

d=A =

 

= 3^0

и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем

Если )АфО, то матрица А обратима. Умножая обе часта уравнения (2.22) слева на матрицу А~1, получаем

х = А~1Ь. (2.23)

Формула (2.23) представляет собой матрично-векторную форму записи формул Крамера.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |