Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А называется подобной матрице В, если найдется такая невырожденная матрица Т, что B=T~l AT. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают и, значит, подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения.

Если матрица А подобна диагональной матрице B=T~l AT,

то говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Числа А,, Х2, К, стоящие на главной диагонали матрицы В, являются собственными значениями матрицы А, а г-й столбец матрицы Т — собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению Xh i= 1, 2, п.

Квадратная матрица А порядка л тогда и только тогда приводится к диагональному виду, когда у матрицы А имеется л линейно независимых собственных векторов. Матрица Г, столбцами которой служат координаты этих собственных векторов, приводит матрицу А к диагональному виду. Этот критерий, в частности, выполняется, когда у матрицы порядка л имеется л различных собственных значений.

Для каждой матрицы А можно построить такую матрицу В, у которой все собственные значения различны, а ее элементы отличаются по абсолютной величине от элементов матрицы А не более чем на є, где е — наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка л к диагональному виду В.

Находят все собственные значения матрицы А.

Для каждого собственного значения Я, ищут фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений (A-liE) jc = 0.

Строят матрицу Г, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем.

Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

2-Я   -1 -1 А-Щ=      -3    2-Х О 4    2 4-Х

Сначала из третьего столбца вычтем второй, а затем к третьей строке прибавим вторую:

О Пример. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица

 

= (2-Я)

2-Я -1 1 4-Х

= (2-Я)(Я-3)2.

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (А — 2Е) х=0 и (А — ЪЕ) jc=0. Фундаментальная система решений первой системы состоит из одного решения (0, — 1, 1), а второй — из одного решения (1, —3, 2). Следовательно, матрица Т имеет вид

Эта матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду. #

Для каждой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица Q, что Q~lAQ — диагональная матрица. Построение этой ортогональной матрицы осуществляется следующим образом:

строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

подвергают столбцы найденной матрицы Т процессу ор-тогонализации, а затем нормируют полученные векторы;

строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной ортонормированной системы векторов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |