Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.32. квадратичные формы

Переход от системы п неизвестных Л], *2, Хщ к системе и неизвестных У,уг> —, У я по формулам

Х*=5иУх + ЬіУг+ ...+siny„

X7 = S2iyi +S2&1+ - +Sl*)>m

             (Sij — числа при всех і, j)

х„ = s„ іу і + sn2y„+ ...+ snay„

называется линейным преобразованием неизвестных, которое в векторно-матричной форме имеет следующий вид:

x=Sy,

х=(хх, х2,     хй), у = (уи уг, уя),

/       ^12 - • • ^l* ■*21  ^22  ■ • ' Sln

s=

^nl sn2

I

Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S невырождена, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Квадратичной формой Q (х{, х2,     хп) от и неизвестных хи х2,

хя называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначим коэффициент при х} через а^, а коэффициент при произведении хіхк=хкхі (іфк) — через аік+акі, причем аік = акі. Член (аІк+акї) jcpc* запишем в виде aikXjXk + aktXkx,. Теперь квадратичную форму Q можно представить в следующем виде:

Q (xi,x2,     xn)=anx + anxxx2+ ... + аХяхххя +...

л Я

... + аяіхЙх1+ая1хЙх2 + ...+аяпхІ=^ Z аих'хг

Симметрическая матрица А = (ау) называется матрицей квадратичной формы Q.

О Пример. Написать матрицу квадратичной формы

Q = 2 х 2 — 5х 2 + 8 х з+4xt х2 — 2xt дс3 + 6х2хг.

Здесь flu =2, <Я22= — 5, (2зз=8, ап~а\% =2, a|3 = e3i = —1, а23 = а32=3. Следовательно,

/2 2-А

А=   I   2 -5    3 •

-' 3 7

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид Q (х)=хАх, где х=(х, хг, х„). Если в квадратичной форме Q = xAx неизвестные подвергнуть линейному преобразованию

x=Sy, то получится квадратичная форма Q — y (STAS) у с матрицей ST AS.

Рангом квадратичной формы Q=xAx называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы Q=xAx можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных x=Sy с ортогональной  матрицей  S,  что  матрица  квадратичной  формы  Q =

=у (51AS) у будет диагональной.

Если Q (х)>0 (<0) для всех хфО, то квадратичная форма Q (х) называется положительно (отрицательно) определенной.

Если квадратичная форма Q (х) положительно определена, то форма — Q (х) — отрицательно определенная.

Квадратичная форма Q (х) — хАх положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).

Если А = (аи) — квадратная матрица, то определители

/а„ ... alk

I           ' I, fc=l, 2, л,

ak, ... aaj

 

называются главными или угловыми минорами матрицы А.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны.

 

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка — положительны.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |