Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

233. применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей

Рассматривается экономическая система, состоящая из л отраслей. Обозначим через х=(х1у х„) вектор валовой продукции системы, а через у=(уи у2, у„) — вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид

л

х,- £ atJXj=yi, f=l, 2, л, ■-і

или в векторно-матричной форме

(Е-А)х=у. (2.24)

Матрицу А — (fl,^) называют матрицей затрат или технологической матрицей; Е — единичная матрица.

Коэффициенты оЛ называются коэффициентами прямых затрат; они представляют собой затраты продукции z-й отрасли на. изготовление единицы валовой продукции fc-й отрасли. Будем считать, что а* = const. Уравнение (2.24) называется моделью Леонтьева.

Одна из задач планирования состоит в том, чтобы при заданном векторе у конечного продукта определить необходимый вектор х валовой продукции.

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор х°, для которого х°>Ах°.

Если матрица а продуктивна, то система уравнений (Е—А) х=у имеет единственное неотрицательное решение при любом у^О, которое можно записать в виде х={Е~А)~1 у.

Элементы матрицы А определяют те количества промежуточного продукта, которые необходимы для производства единицы валового продукта каждой отрасли.

Элементы матрицы Аг = (а$) называют косвенными затратами первого порядка. Величина (вЦ)')— это количество і-ю промежуточного продукта, которое необходимо для производства всех материалов, используемых для производства единицы j-й продукции.

Аналогично, элементы матриц Аъ = (а$), А =(а$) назы-г вают косвенными затратами второго и следующих порядков. ;

*          ■ І

Величину полных материальных затрат г'-го продукта на производство единицы валовой продукции >й отрасли определяют до формуле

Cy=fliy+ejJ, + ... + eJJ) + ... (i.j=l, л),

если, конечно, бесконечные ряды сходятся.

Элементы си определяют матрицу полных затрат С, причем.

с=а+а2+...+а"+... .

Отметим, что х=Су+у. Отсюда следует, что величины су представляют собой те количества промежуточного продукта нго вида, которые необходимы для выпуска одной единицы конечной продукции 7-й отрасли.

 

2.34. Динамическая модель планирования

В модели Леонтьева предполагается, что процесс производства совершается мгновенно. Временные лаги (задержки, отставания) в процессе производства учитывают с помощью моделей динамического межотраслевого баланса.

Разобьем промежуток планирования на Т периодов (недель,

месяцев, лет). Обозначим через х'=(х[, х'2, х'„) вектор валовой продукции, произведенной в конце f-ro периода. С помощью этого набора продуктов в (t+ 1)-м периоде осуществляется производство вектора х'+1. Последовательность {х1, х2, хт} называют траекторией развития производства. Так как вектор х'+1 не

определяется однозначно вектором х', то имеется много различных траекторий развития производства. Каждая траектория развития производства является решением системы неравенств:

Axl+1^x, t=0, 1,2, Г-1, х3*0, г=1, 2, Т, где) А — технологическая матрица.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |