Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.8. предел последовательности

 

Пределом последовательности {Мк}, MkeR", называется л-мерная точка М0, если каждая е-окрестность точки М0 содержит все члены данной последовательности начиная с некоторого номера, т. е. для любого е>0 должен существовать номер К (зависящий от е) такой, что MkeS, (М0) при всех к>К.

Если М0 является пределом последовательности {Мк}, то

пишут M0 = nm {Мк} или Мк->М0 ори Л-юо.

*-»оо

В частности, число а есть предел числовой последовательности {хп}, если для любого числа £>0 можно указать номер N (зависящий от є) такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство хЙ — а < е.

1

с V

Например, последовательность <- > имеет предел а — 0, Дейст-вительно, для любого е > 0 всегда существует натуральное число

ла

ется неравенство

=-<£. При отыскании предела последова-

п

^целая часть числа    такое, что для всех n>N выполня-

1-0

Л

тельности л-мерных точек (л ^2) важную роль играет предел числовой последовательности, так как имеют место следующие два утверждения:

1.         Точка М0 является пределом последовательности {Л/*},

A/jteR* тогда и только тогда, когда предел числовой последовательности {р (Мк, М0)} равен нулю (р (Мк, М0) — расстояние между точками Мк и М0).

2.         Точка М0 (х?, х°,x§ является пределом последователь-

ности {Мк}, Мк (хк, х, хJ) тогда и только тогда, когда

lira хї=х?, lira х = х,     lim хкя=ха„.

Пример. Точка М0 (I; 1;1) является пределом последовате-

lim       = lim    = 1.

1 +-k

Последовательность n-мерных точек называют сходящейся, если она имеет предел.

Свойства сходящихся последовательностей

1°. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

2°. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

3°. Если последовательность я-мерных точек сходится к точке Мо, то и любая ее подпоследовательность сходится к М0.

4°. Если  Мй — предельная  точка  некоторого множества

V (V є R"), то существует последовательность точек из множества V, сходящаяся к точке М0.

5°. Если последовательность точек замкнутого множества сходится к точке М0, то М0е V.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |