Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

Числовая последовательность {а,} называется бесконечно малой, если lim {a„}=0, т. е. {а^} — бесконечно малая последо-

вательность, если для любого числа  е>0 можно, указать номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

Например, если ц> (х), g (jc)—многочлены и degtp (х)< <degg (х), то последовательность        1 является бесконечно

малой.

Бесконечно малые последовательности используют при вычислении пределов последовательностей, так как число а является пределом последовательности {jc„} тогда и только тогда, когда

х„ = а + а„, где {o^} — бесконечно малая последовательность.

,.   2п1 +    „  2лЧі   _   1 fl)

Например, hm ——=2t так как     — = 2 + — и < —> — бес-

н—со     п       п          "        1П )

конечно малая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1°. Если {ап}, {/?„} —бесконечно малые последовательности, то их сумма или разность {а„±/?„} также последовательность бесконечно малая.

2°. Если {а,} — бесконечно малая, а {х„} — ограниченная последовательность, то их произведение {ое„ ■ хя) — последовательность бесконечно малая.

3°. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Числовая последовательность {х„} называется бесконечна большой, есди для любого числа А>0 существует натуральное число N такое, что при всех n>N выполняется неравенство хв\>А.

Например,  если f (х),  ц> (х) — многочлены  и  degcp (х)>

mi

>degf (х), то последовательность -—-} является бесконечно большой.

Если {хя} — бесконечно большая последовательность, то пишут

lim {х„} = оо.

 

Если же {хл} — бесконечно большая последовательность и начиная с некоторого номера все х„ положительны (отрицательны),

то пишут lim {хя} = + оо (lim {х„} = - со).

Свойства бесконечно больших последовательностей-

1°. Бесконечно большая последовательность всегда неограни-чена. Однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

2°. Последовательность {хл}, х„э*0 является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность |—-| бес-

конечно малая.

 

ЗЛО. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей

Если последовательность {хп} постоянна, т. е. при всех п х„ — = С=const, то lim х„—С.

Я-.00

Предположим, что последовательности {хя}, {у„} сходятся. Тогда:

1)        сходятся последовательности {х„+у„}, {хяу„}, причем

lim (x„ + vn)=limx„+limj„; lim (хп • у„) = lim хя • lim уп;

Л-.00   Я-.ЕО   Л~»СО            ft-*00  П-.00 л-*со

2)        если lim)',Ф0, то сходится последовательность < —>, при-

л-со У*

Подпись: lim х„
і
«-♦со Уп

чем lim — =  

lim уп

Л-.00

то:

Отсюда следует, что если последовательность {х„} сходится, a) lim (С х„)= Clim хя (C=const); б) lim (x„)*=(lim x„f

 

(к — натуральное число).

Приведенные утверждения часто используют при вычислении пределов числовых последовательностей. В частности, можно показать, что если <р (х), g (х) — многочлены и deg <р (х) =

=degg (х), то lim        равен отношению коэффициентов при

старших степенях многочленов ф (х) и g (х). Например,

,.    Зл2-2л-і-8 3

Inn      =          .

2-4в2 4

3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей)

Имеют место следующие утверждения:

Если последовательности хя}, {уя} сходятся и при всех

номерах л выполняется неравенство хя^у„ то lim xB^limy,.

Л—» 00 Л-400

Если при всех л выполняется неравенство хя^уя^гя и lim х„ = lim z„ = a, то и Іітуя=а.

п-*ао   п-*оо Я-.00

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |