Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.13. выпуклые множества в л-мерном пространстве

Если М (х{; х2; хя) и N (у,; у2; у„) — две л-мерные точки, то отрезком [MN] называют множество всех точек Р (zb .... г,), где

zi = axi+(l -a) уи zj = ajf2+(l -а) уг,     z„ = ax„+(-x) уя при

 

Таким образом,

[MN]^{PeRnOP=OMa+ON (1-а) при O^a^l}.

О Пример. Даны точки М (, -2; 3, 4) и /У(3; 4; 1; -8). Точка Р(2; 1; 2; ~2)e[MN], так как 2=a-1 +(1-а).3, 1 = а(-2) + (1-а)4, 2 = а-3 + (1-а)■ 1, -2=«.4+(1-а).(-8) при а=1/2. Точка Q (4; 3; 2; — )$[MN, так как соотношения 4=a.l + (l-a)-3, 3 = a-(-2) + (l-a)4, 2 = «.3 + (l-e).l, — l = a-4 + (l—a)-(—8) не выполняются ни при каком значении а. •

Множество V в R" называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки, т. е. если MeV, NeV, то [МЩя. V.

Выпуклыми, например, являются следующие множества:

все л-мерное пространство R";

{M(x,y)sR2x2 + y2^r2};

{М (х„ х2,     xn)eRna,x] + a2x2 + ... + a„x„=b};

{М (хъ х2,     xn)eRnaiXt+a2x2 + ... + a„x„^b};

г-окрестность любой л-мерной точки.

Свойства выпуклых множеств

1°. Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

2°. Если точки Ми М2,Мк принадлежат выпуклому множеству  V и ^P=XiOMt+X2OM2 + ... + ХкО~Мк при Я,3*0, Я23*0,

Хк^0, Xi + Х2 + ...+Хк—1, то точка Р принадлежит множеству V.

Выпуклой оболочкой точек Mi, М2, Мк называется множество {PeR"OP=XtOMi + Х2ОМ2 +... + ХкОМк, Я,>0, Я2>0, Хк^0, Xi + X2+...+Xk=l}.

Выпуклая оболочка всегда является выпуклым множеством.

Если выпуклое множество содержит точки Mi, Мъ Мк, то оно содержит и всю выпуклую оболочку этих точек.

3.14. Крайние точки выпуклых множеств

Точка Р выпуклого множества V в л-мерном пространстве называется крайней, если она не может быть серединой отрезка, концы которого лежат в множестве V, т. е. если не существует точек Мі, М2 є V, М ФМ2 таких, что

ОР=  ОМ,+- ОМг. 2 2

Например, множество V— {М (х, у)€ eR \х)^а, у)^а, а>0} имеет четыре крайние точки: Л/, (а; а), Мг ( — а; а), Мъ (—а; -а), М, (а; -а) (рис. 3.4).

Выпуклая оболочка п-мерных точек Ми          Рис 3.4

М2,     Мк имеет лишь конечное число крайних точек и совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Непустое выпуклое компактное множество в R" имеет крайние точки.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |