Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.7. выпуклые и вогнутые функции

Пусть функция y=f (М) определена на выпуклом множестве F=R".

Функция у =/ (М) называется выпуклой {вогнутой) на множестве V, если для любых двух точек Mi (jci, Хг,    х„) и М2 (у,Уі, у„), принадлежащих V, и для любого действительного числа О^а^ 1 выполняется неравенство

f(N)^af(Mi)+0 -а)/(М2) (f(N)>zf(Mi)+(l-а)/(М2)), где

JV (ах,+(1 -а) уГ, ах2+(1-а) уг; ...; ах„ + (1 -а) уя). О Примеры.

Функция f(x) = x2 — выпуклая на R1. Действительно, для произвольных Х, jf^eR1 и любого я є [0, 1] получим

а/(х,)+ (1 -a) f(x2)-/[ах, + (1-а) х2]=ах2+(1 — а) х— —[ах! + (1 —а) xj2 = a (1-а) х — 2а (1 —a) XiX2+ 4-а (1-а)х| = а (1-а) (х!-х2)2>0.

Линейная функция f{M)=aiX + а2х2 + ... + а^ся является одновременно и выпуклой, и вогнутой на всем пространстве R".

Квадратичная функция

/ (М) = а і, х 2 4- а22х I +... 4- аяях2 4- 2а j 2х, х2 4-... ... + 2а1вхіх,)4-...42ая_,яхв,.іх(1

является выпуклой (вогнутой) на R тогда н только тогда, ког/ она положительно (отрицательно) определена, т. е. принимает неотрицательные (неположительные) значения. Например, функция f (M)-2x2+Uxl+52xl + ixix1+4xlxi-l6x2XJ является выпуклой на пространстве R3. Действительно,

/(М)=2 (хf+4х,х2+2xix3) +11х+52х]—16хгхъ = =2 (хХ+ЬХїХг + ТхіХї + ЬхІ + хІ+Ахгхд+ЗхІ + ЬЬхІ^АхгХ^ = 2 (*1 + 2х2 + х1)1+3 (х-\%хгхг + Ьх)+2х= = 2 (хі+2х2 + х3)2 + 3 (лг2—4jc3)2 + 2jc2>0

 

во всех точках пространства R3, т. е, функция / (М) положитель но определенная, ф

Свойства выпуклых функций

1°. Функция f(M) выпукла на множестве V тогда и< толы., тогда, когда функция —/ (М) вогнута на V.

2°. Если функции f (М) uf2 (М) выпуклы на множестве V, т функция kji (My + kjfi (М), где к,, кг — произвольные неотриц тельные числа, также является выпуклой на V.

3°. Если функция / (М) выпукла на множестве V, то множество {Me Vf(M)^b), где b — любое число, если только оно не пусто, само является выпуклым множеством.

4°. Если выпуклая функция / (М) определена на открытом множестве V, то на этом множестве она непрерывна.

Аналогичные свойства имеют место и для вогнутых функций.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |