Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.8. специфические свойства функций одной переменной

Функцияy=f(x), определенная на множестве V £ R1, называется четной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки ;с = 0 и имеет место равенство f {~x)=f (х) для любого xeV.

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оу.

Функция у=/(х), определенная на множестве V S R1, называется нечетной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки jc=0 и имеет место равенство /( — х) = = —/ (х) для любого xeV.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

О Примеры.

Функция у = cos х, для которой D (у)—] — оо, + оо[, является четной функцией, так как cos (—x)=cos х для всех хе D (у).

Функция >> = arcsin;c, для которой D (у)=[ — 1, 1], является нечетной функцией, так как arcsin (-х)= — arcsinх для всех xsD(y). 9

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек х и х+1 из области определения функции имеет место равенство f(x + t)=f(x). При этом число / называют периодом функции.

Практически всегда ставится вопрос о наименьшем из всех возможных периодов, т. е. о числе T=mint).

і

Если функция y=f(x) непрерывна, отлична от постоянной и периодическая на R1, то существует наименьший период Тэтой функции. Все остальные периоды кратны Т, т. е. t, = nT, где л = 1, 2, 3, ... .

О Примеры.

у = sin х и у = cos х имеют период Т~ 2п.

y = tgx и y=ctgx имеют период Т=п.

Функция Дирихле

имеет периодом любое положительное рациональное число, однако не имеет наименьшего периода. #

Функция у=/(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве V S R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений xit хгеУ из условия xt<x2 следует неравенство

/(х,)</(х2)(Г(Х1)>/(х2)).

 

Функция y~f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве KsR1, если она определена на этом

МНОЖеСТВе И ЄСЛИ ДЛЯ ЛЮбыХ ЗНачеНИЙ Х, Х2В V ИЗ УСЛОВИЯ Xi <х2

следует неравенство

f(Xl)^f(x2) (f(x])^f(x1)).

 

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

О Примеры.

1. y = lgx — строго монотонно возрастающая функция во всей области определения (см. рис. 1.11).

2.         ^=^^ —строго мо но іонно убывающая функция в об

ласти определения (см. рис. 1.10).

у — хг— функция, возрастающая в промежутке [0, +оо[ и убывающая в промежутке ]^ оо, 0] (см. рис. 1.5).

^ = [jc] — целая часть числа х (см. рис. 1.18) — неубывающая функция, #

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |