Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.10. понятие предела функции

Пусть функция y—f (M)=f (х,, х2,.., х„) определена на множестве V £ R" и М0 (х ?; х°;х°) — предельная точка множества V.

Имеют место два эквивалентных между собой определения предела функции.

Число Ь называется пределом функции f (М) при М, стремящемся к М0 (М-*М0), если для любой последовательности точек Мь М2,     Мк, .... где Мке V (к — 1, 2, 3, ...), МкФМ0, сходящейся

 

к Mo, последовательность значений функции /(А/,), /(Мг) 

/ (Мк), — сходится к числу Ь. При этом пишут

b= lim /(М) или Ь= lim /(х,; х2; х„).

 

2 I

I -г* в *

В частности, для функции одной переменной у=/(х) число Ь называется пределом при х-*х0, если для любой последовательности значений аргумента хь х2, хк, где хкє V, хкфх0 (к= 1, 2, 3, ...), сходящейся к х0, последовательность значений функции f(х),/(хг), ...,f(xk), ... сходится к числу Ь:

b= lim / (х) или /(х)-*Ь при х-+х0.

 

Число Ь называется пределом функции/ (М) при М-*М^, если для любого числа е>0 можно указать такую окрестность Sr (Ма) точки М0, что для всех точек MeSr (М0) f] V, МФМ0 выполняется неравенство

\[(М)-Ь\<г.

В частности, для функции одной переменной y=f(x) число b называется пределом при х^х0, если для любого числа £>0 можно указать такое положительное число 5, что для всех х е V, хфх0 и удовлетворяющих условию х — х0\<3, выполняется неравенство ]f (х)—b\<t.

О Примеры.

1.         lim cosx= 1.

Действительно, возьмем произвольное е>0. Так как jcosx—1| =

X Х^

=2sin2-<—, например, в промежутке |х|<я/2, то, положив

<5=min (я/2, у/іе), получим, что для всех х^О, удовлетворяющих условию |х|<<5, выполняется неравенство jcosx— 1|<е.

2.         lim sin - не существует. Действительно, рассмотрим две

*~*    Х 1,1

последовательности {хк} и {хк}, где хк~—, хк =          , к—1, 2,

пк к/2+2пк

которые сходятся к нулю. Последовательность значений функции {/" (х*)} сходится к нулю, так как / (хк) = sin пк = 0 при всех к.

Последовательность же {/"(хк)} сходится" к единице, так как f(x'k) = sin (я/2 + 2тгк) = 1.

юз

3. lim               не существует. Действительно, рассмотрим две

 

последовательности точек {Мк (\}к, ijk)} и {М'к (2/fe, 1/fc)}, сходящиеся к точке О (0; 0). Последовательность значений функции f(Mx)=f(, 1)=1/2, /(Л/2)=/(1/2, 1/2)= 1/2, /(А/*)=/(1Д, 1/А)=1/2, ... сходится к 1/2, а последовательность f(Ml)=f(2, 1) = 2/5,/(Л/2)=/(1, 1/2) = 2/5, ...,/(АО=/(2Д, 1/А:)=2/5, ... сходится к 2/5. #

 

4.11. Некоторые замечательные пределы

 

1. ііт— = 1.     2. lim— = 1.        3. Іша         = 1.

х-Л    x            ДГ-.0   x          ж-0 X

4. limarCt^C=l.           5. lim(l + jc)"* = e  (e= 2,718...).

 

log. (1 +JC) ln(l+x)

6. lim   = log„e.           7. lim   = 1.

хчС      x          i_>o x

X X

a ~    e -1

8. lim   = ln a.  9. lim   = 1.

л-о   x j[_o x

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |