Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.15. основные теоремы о пределах

1.         Если функция y=f (М) = С (С— постоянная), то

lim f(M)=C.

 

2.         Если lim / (Л/) существует, то для любого числа к

 

lim kf(M) = k- lim f(M).

о

3. Если существуют lim / (М) и lim g (М), то: а.) существует lim [/"(AO+g (Л/)], причем

lim [У(Л/)+£(Л/)]= lim /(*/) + lim * 6) существует lim [/"(A/)# (А/)], причем

 

lim [/"(Л/) ^ (Ai)}= lim f(M)- lim jj (AO;

 

в) если lim g (М)Ф0, существует lim         , причем

lira f(M)

..     /(AO м^и/

lim       =          о          .

0          lim g (M)

 

4. Пусть f(M)^g(M) в некоторой окрестности точки А/о. Тогда lim /(А/)^ lim g (А/), если эти пределы существуют.

В частности, если /(Л/КО (/"(Л/)^0), то   lim /(Л/КО

(lim /(Л/)>0).

5. £слы (р (M)^.f(M)^g (А/) в некоторой окрестности точки Мо и lim <р (A/) = lim g (Af) = b, то lim f(M)=b.

О Пример. Имеем

 

!im X ■ lim x2

Г2 *r2

x,x2     x2-.~i x2 —і        2 (-1)         2 _

lim

1          lim xf+ lim xi

 

4.16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция у=а (М) называется бесконечно малой при М-*М0, если

lim а(М)=0.

 

В частности, функция у —а (х) называется бесконечно малой при х-*х0, если

lim а (х) = 0.

О Примеры.

1. Функция а (х) =         бесконечно малая при jc-*2, так как

х-2

lim       = 0. Данная функция является бесконечно малой также

х-2 X2

х—2

при х-юо, так как lim —— = 0.

Х-.СО Л

2. Функция a (jc,, х2)=         бесконечно малая при стремлении

точки М (xi, Хг) к любой точке прямой хг—хи за исключением начала координат О (О, 0). Функция a (xL, х2) не имеет предела при М (х„ Хг)-*0 (0, 0). • >

Свойства бесконечно малых функций

1°. Предел lim f(M) существует и равен числу Ь тогда и то-

лько тогда, когда/ (а/)=6 + ос (Л/), где а (а/) — бесконечно малая при а/-»л/0.

2°. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при М-*Мо функций являются бесконечно малыми функциями.

3°. Произведение бесконечно малой при М-*М0 функции на ограниченную в некоторой окрестности точки Л/0 функцию является бесконечно малой функцией.

Функция y—f (а/) называется бесконечно большой при М-*М0, если для любого числа К>0 можно указать окрестность Sr (а/0) точки а/0 такую, что для всех точек а/є5, (а/0), МфМъ выполняется неравенство f(M)\>K.

В этом случае пишут   lim f(M)~co или /(М)~*оо при

а/->а/0. 0

В частности, функция одной переменной у=/(х) является бесконечно большой при х-*х<ь если для любого числа К>0 можно указать такое зависящее от К положительное число д, что для всех х^Хо, удовлетворяющих условию |х—x0|<<S, выполняется неравенство f(x)\>K.

О Примеры.

х—2

Функция а (х)=— бесконечно большая при х-»0, так как lim а (х) = — со.

Функция f(x)=— бесконечно большая при х-»1, так как

х—1

для любого К>0 найдется 5 = jK такое, что для всех хФ, удовлетворяющих условию jx —1| < 1/£, выполняется неравенство f(x)\>K. При этом

lim f(x)=- оо, lim /(х)=+со.

ж—1 —0 j-H+O

3.         Функция / (М) = ~— бесконечно большая при М~*0 (0, 0),

х*+х!

так как          1 г

lim /(а/) = + со.

«-(О, 0)

Функция /(Л/). /(М)ФО при МФМ0, является бесконечно большой при М~*М0 тогда и только тогда, когда функция

а (Л/)=——- является бесконечно малой при М~*Ма.

Функция / (х) одной переменной является бесконечно большой при х—*оо, если для любого числа L>0 можно указать такое зависящее от L положительное число К, что для всех |x|>Jf выполняется неравенство f (х) > L,

 

4.17. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть функции f(x) и g (х) таковы, что /(х)Ф0, g (х)фО при хфхц и существует предел lim ^-^ = 1. Тогда:

а)         если 1ф0 и 1ф со, то говорят, что функции f(x) и g (х)

одного порядка при х~*х0, и пишут/(х) = 0* (g (х));

б)        если /=1, то функции / (х) и g (х) называют эквивалент-

ными при х-*х0 и пишут / (x)<s>g (х);

в)         если /=0, то функцию / (х) называют функцией более высо-

кого порядка малости по сравнению с функцией g (х) при х-*х0

и пишут / (х)=о (g (х)) (читается: «/ (х) есть о малое от g (х) при

х~+х0»);

г)         если /=оо, то g (х) = о (f (х)).

О Примеры.

sin^ X 1

1.         siuzx=0* Ох2) при х-*0, так как lim          = -ФО (см. п.

Зх1 3

4.11).

X

2.         х=о (х2) при х-*со, так как lim — = 0. В то же время

і-чіі х

х2~о (х) при х-*0, так как lim — =0. 9

~° х     . /W

Если f(x) = 0* (g (х)) при х-*х0, т. е. lim—— = 1ф0, то

х^х0 g (X)

f(x)v)g (х) и f(x)=g (х) + о (g (х)) при х~*хц. Если f(x)wu (х),

и (х)

a g (x)cr>v (х) при x-*Xq, то при условии существования lim —

х->хя * (х)

/W                 fix)   ..   «М 0

существует и lim      , причем Jim = lim    .

х~хп 8 (*)      х-*х  g (*)       V (Х)

О Примеры.0            ° °

1. При а>1 и р>0 о\%ах = о(хр) и хг = о(а) при х-юо, т. е. логарифмическая функция растет медленнее степенной фунхции, которая, в свою очередь, растет медленнее показательной функции.

2. Если а (х) — бесконечно малая при х-*х0, то имеют место следующие эквивалентности:

sinot (х)соа (х);

tgo, (х)сла (х);

arcsina (х)соа (х);

arctg а (х)соа (х);

log„ [1 +а (х)]ооа (х) 1о&е;

 

1 — cos а (х)со        

2

а(х) — 1 соа (х) lna; [1+а(х)]"-1сои а(х);

Vl+«    1 а (х).

л

Указанные эквивалентности полезно использовать при вычислении пределов функций. Например,

*'    1 Xі

lim       =— = lim        = — 3;

*-»о sin* Pjl-x-l)   Х-.0     * -

з

Здгэ-7х + 2       „      Зх3+о(ІХ3)      Злґ3        . _

lim       = Um   = lim    = —3. Щ

х-.» 4-bx+9x2-x3   x_frj -ї3+о і-Xі)   x^.Sj -xs

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |