Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.18. асимптоты графика функции одной переменной

Пусть функция y=f(x) определена при всех х>х0 (х<х0). Если существуют числа к и b такие, что функции fix)—кх — b~o (1) при Х-+ + СО (х-* — оо), то прямую линию у=кх+Ь называют асимптотой графика функции y—f(x) при X-+ + QO (х-> — оо).

При этом если кфО, то асимптоту называют наклонной, если же k=0 (тогда у=Ь), то горизонтальной.

Условие /(х) — кх—b=o (1)   означает,   что    lim f(x)-

ДС-. + О0

—&x—6]=0 и, следовательно, функция/(х) при х-* + со (х-> — оо) неограниченно приближается к прямой у—кх+b («ведет себя

 

Рве, 4,4

Рис. 4.5

почти как линейная функция»). Например, на рис. 4,4 изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у—х— 1 при х-+ + оо (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у= при х-* — оо (левая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы

lim ^^■ = ki и lim [f(x)—kix] = b],

 

то прямая у=кХ+Ьї является правой наклонной (при £, = 0 — горизонтальной) асимптотой графика функции y=f(x).

X

Если существуют пределы lim ^— = к2 и   lim   [f (х) — кх] =

х^*~* — оо

=Ь2, то прямая у = к2х+Ь2 является левой наклонной (при &2=0 — горизонтальной) асимптотой графика функции у=/(х).

Пусть функция у =/ (х) определена в некоторой окрестности точки х=х0. Если  lim f (х) — со или  lim f(x) = co, то прямая

x-tx^—O х^х^+0

х = х0 является вертикальной  асимптотой графика функции

Например, на рис. 4.5 изображен график функции у=/(х), имеющий     вертикальную     асимптоту     х=2,     так как lim / (х) = + со. Предел справа lim / (х) = 1.

лг->2-0 jc-2+О

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |