Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.19. понятие непрерывности функции в точке

Пусть функция/(Af)—f (xu х2, ..-,х„) определена на множестве

7cR"h пусть точка Ма(х\; х2; xl)e К является его предельной точкой.

Функция / (М) называется непрерывной в точке М0, если для любого числа £>0 можно указать окрестность S, (М0) точки

ш

А/о так, что для всех точек MeS, (А/0) f] V выполняется неравенство f(M)-f(M0)\<E.

Непрерывность функции / (А/) в точке Л/о означает существование предела lim / (А/) и равенство этого предела значению

функции в точке А/о, т. е. Um /(А/)=/(А/0).

В этом же случае для любой последовательности точек {А/*},

Мке сходящейся к точке А/0, последовательность значений функции /(A/i), /(А/2), /(А/*), ... сходится к /(А/в) (см. п. 4.10).

Условие       lim f(Af)—f(M0)      равносильно условию

 

lim [/"(А/)—/(А/0)] = 0. Если при этом точка А/ имеет координатно

ты (жь х2;хя), то разности jc( — xi, х2~х°,х„ — х°„ обозначают соответственно через Ахи Ах2, Ах„ и называют приращениями аргументов, а разность f(M)—f (А/0) — через Af (А/0) и называют приращением функции в точке А/о, соответствующим данным приращениям аргументов Ах1г Ах2,       Лх„. Тогда условие

Jim [f(M)—f(Mu)]—0 может быть записано в виде А/(М0)-*0

при Ахі-*0, Ах„-*0 и, следовательно, непрерывность функции / (А/) в точке А/о означает, что ее приращение стремится к нулю, когда приращения всех ее аргументов также стремятся к нулю.

В частности, функция y=f(x) одной переменной, определенная в некоторой окрестности точки х0, является непрерывной в этой точке, если для любого числа £>0 можно указать зависящее от £ число 5>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х—Хо\<6, выполняется неравенство f (х)—/(х0)\<е,

т. е. lim / (х) =f (хо) или lim AT(jco) = 0. о Примеры.

Линейная функция _у=а1х1 + ... + апхл непрерывна в любой

точке А/ (хи ху, ..; xJeR*.

Квадратичная функция y—aux2i + a22x2--... + a„„xl + + 2а12х1х1 +... + 2аІЯХіХя+2а2іх2хг +... + 2а„_ ]пх„ _, х„ непрерывна

в любой точке из R".

Функция f(x) = sinx непрерывна при любом xeR1. Действительно, взяв произвольно точку jCoeR1 и приращение Дх, найдем,   что   Af (jc0)=sin (x0+Ax)—sin Хц=2 sin — cos (x0+—|,

2      V      2 J

откуда

lim Д/(х0)= lim 2sin — cos I Xo-i— 1 = 0. #

x-o     Д1-.0   2               2 I

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |