Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.24. непрерывность обратной функции

Если функция одной переменной y=f(x) строго монотонна и непрерывна на отрезке [а, Ь], то обратная функция x=g(y) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в точках f (а) и f(b).

Если функция одной переменной у=/(х) строго монотонна и непрерывна на интервале ]а, Ь[ (конечном или бесконечном) и если существуют (конечные или бесконечные) односторонние

пределы с = lim / (х) и о*= lim / (х), то обратная функция

JT-.U + 0 х—Ь-0

х=8 (У) определена, строго монотонна и непрерывна на интервале ]с, а.

4.25. Точки разрыва функции

Пусть функция одной переменной y=f{x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой

ТОЧКИ Х0. ЕСЛИ фуНКЦИЯ /(х) НЄ ЯВЛЯеТСЯ непрерывной В ТОЧКе Хо,

то говорят, что в точке Хо функция терпит разрыв, и точку хо называют точкой разрыва функции.

Точку х0 называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы / (х0 - 0) = lim / (х)

и /(хо + 0)= lim /(х), но /(х0-0)^/(х0 + 0). В этом случае

наибольшую из разностей между числами /(х0), /(х0-0), /(х0 + 0) называют скачком функции f(x) в точке х0. Например,

для функции / (х) = —-— точка Хо — 0 является точкой разрыва,

І+2іУі

так как в этой точке функция не определена (f (0) не существует). При этом/(-0)= lim /(х) = 1,/(+0)= lim /(х) = 0. Следовате-

льно, точка хо=0 является точкой разрыва первого рода, а разность /(—0)—/( + 0)=1—скачком данной функции (см. рис. 4.3).

Точку х0 называют точкой устранимого разрыва, если конечные односторонние пределы /(х0—0) и /(хо + 0) равны между собой, но не совпадают со значением /(х0), если только оно существует.

ТІ        л.         rt ч     W ПРИ Х*2> '

Например,    для    функции   ]х)-л       „ имеем

(1 при х — 2

/(2-0)=/(2 + 0)=Hm х2=4, однако 4=/(2-0)=/(2 + 0)*/(2) =

= 1. Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции / (х) (рис. 4.6).

"6

Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить функцию в точке Хо для того, чтобы она стала непрерывной в этой точке. В рассмотренном примере надо положить g (2)=4 = lim / (х); тогда функция g (х)=

*-*2

fx1 при х^2, „

является непрерывной в точке х0 = 2.

(4 при х = 2

Точку Хо называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов/(х0—0) и/(х0+0) не существует (в частности, бесконечен). Например, для функции f(x) = elx

 

ok

 

0 Рис. 4.7

точка х0=0 является точкой разрыва второго рода, так как

/<-0) = 0,Л+0)= + оо(рис. 4.7).

Замечание. Функция п переменных y=f{xu хъ хп) может иметь не только изолированные точки разрыва, а целые множества точек разрывов (линии, поверхности разрывов).

Например, функция/(х}, хг)-

имеет разрыв во

 

всех точках параболы хг=х] и во всех точках прямой х2 = — - xt.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |