Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная

Пусть функция y~f(x) определена в некоторой окрестности точки X.

Первой производной (производной первого порядка) функции / (х) в точке л: называют конечный предел отношения приращения функции Ау=А/(х) к приращению аргумента Ах при условии, что Ах стремится к нулю. Обозначения производной:

■   .   <»/(*> dy

f (x),yx.y» ——, —.

ax ax

 

Таким образом,/^ (x) = lim — = lim         —.

ix .о Ai   дх-»о A*

Если в некоторой точке х  lim — = оо (+ со, — со) и функция

А*-о Ал

/ (х) непрерывна в точке х, то говорят о наличии у этой функции в точке х «бесконечной производной»/' (х) = со (+00, — 00). Конечные или бесконечные пределы

 

J_ (x)= lim       и f+ (x)= lim  

 

называют соответственно левой и правой производными функции /(х) в точке X.

Функция / (х) имеет в точке х производную/"' (х) тогда и только тогда, когда односторонние производные /_ (х) и/+ (х) существуют и совпадают, т. е./' (x)=f^ (x)=f+ (х).

Операцию нахождения производной f (х) называют операцией дифференцирования функции / (х).

О Примеры.

1. Функция f(x) — x2 имеет конечную производную при любом действительном х. Действительно, при любом х имеем /' (х)=іті і-     -           = lim    y—L = lim (2х+Дх)=2х.

І

Функция/ (л) = 3-Jx имеет в точке jc = 0 бесконечную производную. В самом деле,

r-rtft    у    Vo+Ax-0               1 .

/ (0)=lim        = lim —           = + оо.

Функция / (х)=см не имеет в точке х = 0 производной, хотя в этой точке существуют конечные односторонние производные. В самом деле,

 

/+ (0)= lim —            = lim -— = 1;

дх-.+о     ах       дх~.+о Аг

Ю+Адг| -Ддг

/_ (0)= lim      = lim    = -1

ir-,-0     Дх       &x-*~a Л*

(см. п. 4.11), но/_(0)*/+ (0). •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |