Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.10. производные и дифференциалы высших порядков

Если для функции y—f(x) определена производная У"" порядка (л — I), то производную уп) порядка л (при условии ее существования) определяют как производную от производной

порядка (л-1), т. е. / = (/ ').

В частности, у"=(у')' — производная второго порядка, у"' — = (у")' — производная третьего порядка и т. д. Другие обозначения производных высших порядков:

d У IV - _ м , ч —, У , У хх, У, У (х).

Ах

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у'. Например, если у=с , то

у'=ех -2х,

/'=(е*у-2х+е",-(2*)'=

=е*' ■ 1х ■ 2х + с' ■ 2=2е' ■ (2х2 +1).

Дифференциалы высших порядков функции y=f(u) последовательно определяют таким образом:

d2y=d (dy) — дифференциал второго порядка,

d3y=d (d2y) — дифференциал третьего порядка       

Вообще, d">' = d (d" ly) ■— дифференциал л-го порядка.

При этом если y=f(u) и и — независимая переменная или линейная функция и = кх+Ь переменной х, то d2y = y" (d«)2;

dV=y (d«)3; ...;dV=yw■(«!«)".

Если      же      y=f(u),      где      И=£ (x)?i^je + 6, то

d2y=f" (и) (du)2+f (u)d2u и т.д. (свойство инвариантности формы не выполняется). Например, для функции у — Ъи5—4ы2 + 7 ее первый дифференциал dy=(5uA — 8«) d« независимо от того, является ли и независимой переменной или функцией другой переменной;

d2y=(60u3 — 8) (du)2, если и — независимая переменная;

d2y = d (15и*-8и) d« + (15u4-8«) d (du) = (60u3-8) (du)2 + + (15u* — 8u) dzu, если u — функция другой переменной.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |