Имя материала: Оптимальное управление в экономике: теория и приложения

Автор: Лагоша Борис Александрович

Глава 5 однопродуктовая модель оптимального развития макроэкономики

5.1.

Моделирование производства на макроуровне

Математическое моделирование на макроуровне (однопродуктовая модель народного хозяйства в целом, межотраслевой баланс, где каждая отрасль представляется в виде одного продукта и одной технологии, и др.) отражает взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно с помощью производственных функций (ПФ). В них затраты производственных факторов на выпуск продукции в единицу времени всегда принимаются неотрицательными. Кроме того, при моделировании ПФ отсутствие всех производственных факторов (их нулевые значения) приводит к нулевому выпуску продукции — это очевидно. Отсутствие хотя бы одного фактора (но не всех) может приводить к нулевому выпуску продукции, а может и не приводить. Это зависит от специфики производственного процесса. Например, в условиях производства в агрессивных средах, где живой труд человека опасен для жизни и потому недопустим, полагают

F(K, L) * О при L = О,

где L — живой труд;

К — капитал (работают приборы, оборудование).

Если имеет место, например, производство ковров ручной работы, когда живой труд L — главный фактор, F(K, L) = О при L * 0.

Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно и выпуск продукции при этом изменяется достаточно гладко, что естественно при моделировании производства на макроуровне.

Экономически целесообразно также, чтобы с увеличением количества используемого ресурса (при неизменности прочих ресурсов) выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой ПФ F(K, L) можно записать неравенства

в>0-    Э/^>0 (5.1) дК        ' dL

Эти ресурсы, как правило, наиболее существенны в производственном процессе, возможные остальные для простоты не учитываем.

Предположения (5.1), разумеется, справедливы в определенной области значений производственных факторов. Например, малые дозы некоторых ядов (наркотиков) в составе лекарств лечат человека, а большие — могут привести к тяжелым заболеваниям вплоть до летального исхода. То же можно утверждать в отношении чрезмерного количества трудовых ресурсов, когда их излишек снижает эффективность производства, внося в него беспорядок и неорганизованность. Тем не менее будем предполагать исключительность подобных случаев, считая условия (5.1) в разумных пределах нормальными для практики.

Представленным формулами (5.1) условиям отвечают мультипликативные, так называемые неоклассические ПФ вида

Х = АК*1У>, А > О, а > 0, (3 > 0, (5.2)

где X       — валовой выпуск продукции;

А        — выпуск продукции при единичных затратах капитала и живого труда;

аир— эластичность выпуска продукции соответственно по капиталу и живому труду.

При а >> р производство называют капиталоемким, при р >> а — трудоемким, при а + р = 1 ПФ (5.2) — ПФ Кобба-Дугласа.

Неоклассическая ПФ дает возможность отразить эффект масштаба производства, который проявляется только при одновременном изменении факторов К и L. Пусть эти факторы изменяются в X > 1 раз.

Тогда

F(XKy XL) = Xа + P F (K, L). (5.3)

Различные значения a + p определяют следующие режимы развития экономики:

если a + р > 1 — интенсивный способ развития, т.е. с ростом масштаба производства в X раз выпуск продукции возрастает более чем в X раз;

если a + р < 1 — производство неэффективное, т.е. выпуск продукции возрастает, но менее чем в X раз;

если a + р = 1 (ПФ Кобба-Дугласа) - нормальное развитие экономики за счет интенсивных факторов производства [12].

Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного производства увеличение затрат только одного фактора приводит к снижению эффективности его использования. Математически это означает:

d2FVC,L) ,Q.  d2F(K,L) cQ (5>4)

Такое явление называют эффектом насыщения. Оно означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего, в условиях неизменной технологии, квалификации работников и характеристик станков уменьшает эффективность использования оборудования. Примерно то же происходит и в случае , когда руководитель производственного коллектива большую часть работы берет на себя, а не делегирует, хотя бы частично, другим сотрудникам. Он при этом все сам не успевает или делает плохо — его возможности по управлению производством достигли предела.

Для экстенсивного развития характерно

lim

к->о

lim

L->0

dF(K,L)

дК dF(K,L)

(5.5)

Это означает, что при отсутствии фактора А'или L и при их последующем приросте на бесконечно малую величину ДА'или AL скорость возрастания выпуска продукции становится бесконечно большой.

Наоборот, в случае чрезмерно большого возрастания фактора К или L

0;

(5.6)

L->oo 6L

что отвечает снижению до нуля их эффективности.

Математическим выражениям (5.5) и (5.6) отвечает их графическая интерпретация (рис. 5.1).

dF(K, L) IF {К, L)

дк  I   к ;

dF(K,L) IF(K,L)

(5.7)

Рассмотренные ПФ имеют статический характер, в них в явном виде отсутствует показатель времени и не учитываются факторы научно-технического прогресса (НТП): производственные навыки, обусловленные длительностью моделируемого производственного процесса, образованность работников, общий уровень научно-технического развития общества и т.д.

Простейший способ компенсации всех названных недостатков — введение автономного НТП, когда статическая ПФ умножается на эмпирически возрастающую функцию времени 0(/). В большинстве случаев

9(/) = є?',

где р > 0- темп роста НТП.

Преимущество такого способа отражения динамики НТП -его техническая простота, недостаток — сокрытие причин и качественных разновидностей НТП. Получается, что он возникает как бы из ничего, общество не затрачивает дополнительных ресурсов, что, очевидно, нереально. Тем не менее в рамках настоящей главы будем использовать автономный НТП:

X(t) = F(K, L) єр'. (5.8)

На ограниченных отрезках времени (в основном до 5 лет) при статистически определенных значениях р получаемые с использованием формулы (5.8) результаты оказываются удовлетворительными по меньшей мере на качественном уровне.