Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

Эндогенность, инструментальные переменные и обобщенный метод моментов (омм)

 

До сих пор предполагалось, что остатки в линейной модели регрессии были одновременно некоррелированы ("contemporaneously uncorrelated") с объясняющими переменными, или даже, что они были независимы от всех объясняющих переменных1^. В результате линейная модель могла интерпретироваться как описание зависимости условного математического ожидания зависимой переменной yt от заданных значений объясняющих переменных Xt. В этой главе мы обсудим случаи, в которых нереально или невозможно рассматривать объясняющие переменные в модели как фиксированные или экзогенные переменные. В таких случаях некоторые из объясняющих переменных могут быть коррелированы с остатком уравнения, так что МНК-оценка окажется смещенной и несостоятельной. Существуют разные причины, почему можно утверждать, что остатки одновременно коррелированны с одной или более объясняющими переменными, но общий вывод заключается в том, что линейная

 

Напомним, что независимость более строгое условие, чем некоррелированность (см. Приложение Б).

модель больше не соответствует условному математическому ожиданию или наилучшей линейной аппроксимации.

В параграфе 5.1 мы начинаем с обзора свойств МНК-оценки в линейной модели при разных наборах предположений. В параграфе 5.2 обсуждаются случаи, когда нельзя показать, что МНК-оценка должна быть несмещенной или состоятельной. В таких случаях, мы должны искать альтернативные оценки. В параграфах 5.3 и 5.5 рассматривается оценка методом инструментальных переменных (МИП-оценка), тогда как в параграфе 5.6 мы обобщаем класс МИП-оценок, рассматривая их как частный случай обобщенного метода моментов (ОММ), который позволяет оценивать и нелинейные модели. В параграфах 5.4 и 5.7 приводятся эмпирические примеры, касающиеся отдачи от образования и оценивания моделей ценообразования финансовых активов, соответственно.

 

5.1. Обзор свойств МНК-оценки

Подпись:

 

(5.1)

 

(5.2)

В главах 2 и 4 мы видели, что МНК-оценка b является несмещенной

для вектора неизвестных параметров /3, если можно предположить,

что вектор остатков є имеет нулевой вектор средних и вектор услов-

ных средних, не зависящий от матрицы X, то есть,      = О

(предположение (А10) из главы 4). Это говорит о том, что знание

любой из объясняющих переменных неинформативно в отношении

значения математического ожидания любого из остатков. Предпо-

ложение независимости матрицы X и вектора остатков є вместе

с предположением Е{е} = 0 (предположения (А1) и (А2) из раз-

дела 2.3) означает, что Е{еХ} = 0, но является более строгим,

поскольку не позволяет ковариационной матрице вектора остатков є

также зависеть от матрицы X.

Во многих случаях предположение, что вектор остатков є имеет условное среднее, не зависимое от X, слишком строгое. Чтобы проиллюстрировать это, начнем с примера. Гипотеза эффективного рынка (при постоянных ожидаемых доходностях) подразумевает, что доходности на любой финансовый актив непредсказуемы по любой публично доступной информации. При так называемой слабой форме гипотезы эффективного рынка доходности финансового актива невозможно спрогнозировать из их собственной предыстории (см. основополагающую статью (Fama, 1970)). Эту гипотезу можно протестировать статистически, используя модель регрессии и тестируя, объясняют ли лагированные доходности текущие доходности. Таким образом, в модели

Vt = Pi+ foyt-i + PsVt-2 + eu (5.3)

где yt обозначает доходность в такте времени £, нулевая гипотеза слабой формы эффективности означает, что /?2 = /Зз — 0. Поскольку объясняющие переменные являются лагированными зависимыми переменными (которые являются функцией лагированных остатков), предположение E{sX} = 0 является нереалистичным. Тем не менее, мы можем сделать более слабые предположения, согласно которым МНК-оценка является состоятельной для /3 = (/Зі, /З2, РзУ -

В обозначениях более общей модели (5.1), рассмотрим следующую совокупность предположений:

xt   и   St   независимы   (для каждого і), (А8) et~HOP(0,a2), (All)

где (All) является краткой записью, говорящей, что остатки St независимы и одинаково распределенны с нулевым средним и диспер-

2 2)

сией a . При некоторых дополнительных условиях регулярности ; МНК-оценка Ъ состоятельна для вектора неизвестных параметров /3 и распределена асимптотически нормально с ковариационной матрицей cr2£~J, где, как и прежде,

Формально имеет место

Vf(b-P)-,M(0,a2^): (5.4)

 

Мы не предоставляем здесь никаких доказательств или выводов. Заинтересованный читатель отсылается к более продвинутым учебникам, например (Hamilton, 1994, глава 8). Самое важное «условие регулярности» состоит в том, что матрица Т>Хх является конечной и обратимой (сравните с предположением (А6) из раздела 2.6).

что соответствует результату (2.74) из главы 2. Таким образом, для малых выборок приближенно справедливо

Подпись:
Подпись:
Этот результат относительно распределения МНК-оценки является таким же, как и результат, полученный при предположениях Гаусса—Маркова (А1)-(А4) вместе с предположением нормальности остатков (А5), хотя результат (5.5) действителен только приближенно на основании асимптотического результата (5.4). Это означает, что все стандартные критерии для линейной модели (t-критерий, F -критерий, критерии Вальда) являются справедливыми приближенно при условии, что удовлетворяются предположения (А8), и (А. 11). Для того, чтобы был действителен результат асимптотического распределения (5.4), мы должны предположить, что вектор объясняющих переменных xt и остаток St независимы (для любого t). Это означает, что зависимость вектора xs от остатка st допускается до тех пор, пока s ф t. Самым важным примером такой ситуации является включение лагированной зависимой переменной. Настоящий результат говорит о том, что до тех пор, пока остатки независимо и одинаково распределены, присутствие лагированной зависимой переменной в векторе Xt влияет на свойства МНК-оценки только при малых выборках, но не влияет на асимптотическое распределение. При предположениях (А8) и (All) МНК-оценка состоятельна и асимптотически эффективна.

Предположение (АН) исключает наличие автокорреляции и гетероскедастичности в остатке St- В вышеприведенном примере можно исключить наличие автокорреляции, поскольку она нарушает гипотезу эффективного рынка (о том, что доходности должны быть непредсказуемыми). Предположение гомоскедастичности более проблематично. Гетероскедастичность может возникнуть, если более вероятно, что остаток будет принимать экстремальные значения при специфических значениях одного или более регрессоров. В этом случае дисперсия остатка St зависит от вектора объясняющих переменных xt. Точно так же возмущения в финансовом временном ряде обычно имеют тенденцию к кластеризации во времени, то есть, более вероятно, что большие возмущения будут сопровождаться большими возмущениями в любом из двух направлений. Так, например, после краха фондовой биржи трудно прогнозировать, повысятся или понизятся курсы акций в последующие такты времени, и ясно, что в этот период времени на рынке существует намного большая неопределенность, чем в другие периоды. В этом случае, дисперсия ошибки Et зависит от предыдущих возмущений et-i,.... Такие случаи называются условной гетероскедастичностью, или иногда акронимами АРУГ или ОАРУГ, которые конкретизируют спецификации для моделирования такого феномена 3^ .

После отказа от предположения (All) больше нельзя утверждать, что cr2E~J является соответствующей ковариационной матрицей, и что приближенно справедливо выражение (5.5). Однако, в общем, состоятельность и асимптотическая нормальность b не затрагивается. Кроме того, асимптотически справедливые выводы можно сделать, если мы оцениваем ковариационную матрицу другим способом. Ослабим предположения (А8) и (All) до предположений

E{xtet} = 0   для каждого £, (А7)

Et — сериально некоррелированы           . .

(А12)

и имеют нулевые математические ожидания.

Предположение (А7) налагает условие, что вектор объясняющих переменных xt некоррелирован 4) с остатком Et, тогда как предположение (А12) допускает гетероскедастичность в остатке, но исключает наличие автокорреляции. При некоторых дополнительных условиях регулярности, можно показать, что МНК-оценка Ъ состоятельна для вектора параметров (5 и асимптотически нормальна, а именно

у/Т(Ь - 0) -> ЩО, S-^SS-i), (5.6)

где

1 т

Е ее plim-^et2xtx;.

t=l

3)         АРУГ является сокращенным обозначением для Авторегрессионной Условной

Гетероскедастичности, а ОАРУГ — сокращенное обозначение для Обобщенной

Авторегрессионной Условной Гетероскедастичности. Более подробно мы будем

обсуждать это в главе 8.

*) В англоязычной литературе эти ситуации обозначаются с помощью ARCH- и GARCH-моделей, соответственно: AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity and Generalized ARCH (примеч. научн. ред. перевода).

4)         Заметим, что E{xtzt} = cov {xtzt}, если хотя бы одна из переменных xt и zt

имеет нулевые средние значения (см. Приложение Б).

В этом случае, асимптотическую ковариационную матрицу можно оценить по методу Уайта (см. главу 4). Следовательно, асимптотическая ковариационная матрица

v{b} = J2 х*<   Ее*х>< (Е   ) ' (5-7)

4=1     '           t=l        M = l '

где обозначает МНК-оцененный остаток, является состоятельной оценкой для истинной ковариационной матрицы МНК-оценки при предположениях (А6), (А7) и (А12). Следовательно, все стандартные критерии для линейной модели асимптотически справедливы при наличии гетероскедастичности неизвестного вида, если критические статистики скорректированы заменой стандартной оценки для МНК ковариационной матрицы состоятельной оценкой при наличии гетероскедастичности (5.7).

В некоторых случаях люди интересуются прогнозами доходностей в долгосрочном горизонте, например, в горизонте нескольких лет. В принципе, тестирование долгосрочных прогнозов можно осуществлять по тем же самым схемам, что и тестирование краткосрочных прогнозов. Однако, например, для пятилетних горизонтов это означало бы, что можно проанализировать только ограниченное число пятилетних доходностей, даже если выборочный период охватывает несколько десятилетий. Поэтому при тестировании прогнозируемое™ доходностей в долгосрочном горизонте, как правило, пытаются использовать доступную информацию более эффективно, применяя перекрывающиеся выборки (сравните с п. 4.11.3); см. для приложений статью (Fama, French, 1988). В этом случае пятилетние доходности вычисляются за все периоды пяти последовательных лет. Игнорируя эффекты второго порядка, доходность за пять лет является просто суммой пяти ежегодных доходностей, так что доходность за 1990-1994 годы частично перекрывается, например, с доходностью за 1991-1995 годы и 1992-1996 годы. Обозначая доходность в году t как yt, пятилетняя доходность за годы от t до t + 4 задается в виде

4 j=0

Чтобы протестировать прогнозы этих пятилетних доходностей, предположим, что мы оцениваем модель, которая объясняет Yt его значением в предыдущий пятилетний период (Уі-б)? используя данные за каждый год, то есть

Yt = 65 + 05Yt-5 +eu    t = 1,..., Г (годы). (5.8)

Все Т ежегодных наблюдений в выборке по пятилетним доход-ностям регрессируют на константу и пятилетнюю доходность, ла-гированную пятью годами. В этой модели остаток подвержен автокорреляции из-за проблемы перекрывающихся выборок. Чтобы объяснить проблему перекрывающихся выборок, предположим, что для ежегодных доходностей справедлива следующая модель

yt = 8г +#iyt_i +щ, (5.9)

где остаток щ не подвержен никакой автокорреляции. При нулевой гипотезе, что #i=0, можно показать, что 5$ = 55 и 6$ = О, тогда как

4 3=0

Следовательно, ковариация между St и St-j отличается от нуля до тех пор, пока j < 5. Из главы 4 мы знаем, что присутствие автокорреляции делает недействительными обычно вычисляемые стандартные ошибки, включая стандартные ошибки, основанные на состоятельной ковариационной матрице при наличии гетероскедастичности (5.7). Однако если мы можем все еще предположить, что регрессоры одновременно некоррелированны с остатками (условие (А7)) и автокорреляция равна нулю после Н тактов времени, то можно показать, что все результаты, основанные на предположениях (А7) и (12), справедливы, если ковариационная матрица МНК-оценки оценивается с помощью оценки Невье—Веста (Newey, West, 1987), представленной в п. 4.10.2

V*{b}=(j2xtx't)   TS*(^xtx>t)    , (5.10)

где

j   Т      Я-1 т

= -^2e^xtxft + -^2wj        е8еаЧ(хах'8Ч+х8Чх'8) (5.11)

t=l        j = l s=j+l

с Wj — 1 — j/H. Заметим, что в вышеприведенном примере Н равняется 5. Как следствие, при наличии гетероскедастичности и автокорреляции (до конечного числа лагов) стандартные критерии для линейной модели справедливы асимптотически, если мы заменяем стандартную оценку ковариационной матрицы состоятельной оценкой с учетом гетероскедастичности и автокорреляции (5.10).

5.2. Случаи, когда нельзя пользоваться МНК-оценкой

В предыдущем параграфе показано, что мы можем ограничиться предположением (А7), наложив условие E{etXt} — 0, по существу, не затрагивая состоятельность МНК-оценки. Если автокорреляция в остатке ограничена каким-либо образом, то все еще можно получать соответствующие выводы для такого случая, используя для ковариационной матрицы оценки Уайта или Невье—Веста. Предположение, что E{stxt} — 0, говорит, что остатки и объясняющие переменные являются одновременно некоррелированными. Иногда существуют статистические или экономические причины, почему мы не хотели бы накладывать это условие. В таких случаях мы больше не можем утверждать, что МНК-оценка несмещенная или состоятельная, и должны рассмотреть альтернативные функции оценивания. Некоторые примеры таких ситуаций: присутствие лагированной зависимой переменной и наличие автокорреляции в остатке, ошибки измерения в регрессорах, и одновременность или эндогенность регрессоров. Теперь поочередно рассмотрим примеры таких ситуаций.

 

5.2.7. Автокорреляция остатков и лагированная

зависимая переменная в качестве регрессора

Предположим, что интересующая нас модель задается в виде

Vt = 0i+ 02Xt + PsVt-i + (5.12) где xt — единственная объясняющая переменная. Вспомним, что пока мы можем предположить, что E{xtst} = 0 и E{yt-St} — О для всех £, МНК-оценка для вектора неизвестных параметров /З = , /?2, РзУ состоятельная (при условии, что выполняются некоторые условия регулярности). Однако предположим, что остаток Et подвержен автокорреляции первого порядка, то есть

et = pst-i + щ. (5.13) Теперь мы можем переписать модель в виде

Vt = 0i+ faxt + РзУі-і + pet-i + vu (5.14) Но также справедливо, что

yt-i = /Зі + t32xt- + РзУг-2 + (5.15) из которого непосредственно следует, что остаток St коррелирован с лагированной зависимой переменной yt-i- Таким образом, если

р ф О, то МНК больше не приводит к состоятельным оценкам для параметров регрессии (5.12). В этом случае не являются состоятельными ни ОМНК, ни РОМНК. Возможное решение состоит в применении метода максимального правдоподобия или метода инструментальных переменных, которые будут обсуждаться ниже; в книге (Stewart, Gill, 1998, Sect. 7.4) представлены дополнительное обсуждение и подробности. Отметим, что тест Дарбина—Уотсона недействителен для проведения тестирования на наличие автокорреляции в модели (5.12), поскольку условие, что объясняющие переменные можно рассматривать как детерминированные, нарушено. Альтернативное тестирование на наличие автокорреляции проводится с помощью теста множителей Лагранжа Бреуша—Годфри (см. параграф 4.7, или главу 6 для общего обсуждения тестов множителей Лагранжа). Критическую статистику можно вычислить как Т, умноженное на R2 регрессии МНК-оцененного остатка et на е^-і и все включенные объясняющие переменные (включая существенные лагированные значения yt). При нулевой гипотезе Но критическая статистика асимптотически имеет хи-квадрат распределение с 1 степенью свободы.

Можно отметить, что в вышеприведенном примере линейная модель регрессии не соответствует условному математическому ожиданию зависимой переменной yt при заданных объясняющих переменных xt и yt-i- Поскольку знание лагированной зависимой переменной yt-i говорит нам кое-что о математическом ожидании остатка et, то условное математическое ожидание E{etxt, yt-i} является функцией от лагированной зависимой переменной yt-i-Следовательно, последний член в выражении

E{ytxu yt-i} = /Зі + foxt + РзУі-і + E{etxu Vt-i} (5.16)

будет отличным от нуля. Поскольку мы знаем, что МНК вообще состоятелен при оценивании условного математического ожидания, то мы можем полагать, что МНК несостоятелен всякий раз, когда модель, которую мы оцениваем, не соответствует условному математическому ожиданию. Таким случаем как раз и является случай, когда лагированная зависимая переменная включается в объясняющие переменные и остаток подвержен автокорреляции.

 

5.2.2. Пример с ошибкой измерения

Другой пример, в котором МНК-оценка, вероятно, будет несостоятельна, возникает, когда объясняющая переменная измеряется с ошибкой. Предположим, что переменная yt зависит от переменной wt в соответствии с уравнением

yt = Pi + fowt + (5.17)

где vt — остаток с нулевым средним значением и дисперсией <т^. Предполагается, что E{utwt} = 0, так что модель описывает математическое ожидание зависимой переменной yt при заданном значении переменной wt,

E{ytwt} = 0i + 02Wt-

В качестве примера, мы можем предположить, что зависимая переменная yt обозначает сбережения семьи и wt обозначает располагаемый доход. Мы предположим, что Wt не может измеряться абсолютно точно (например, из-за сообщения неточных сведений) и обозначим измеренное значение объясняющей переменной wt через xt. Для каждого наблюдения объясняющая переменная Xt равняется, по построению, истинному значению Wt плюс ошибка измерения ut, то есть

xt = wt+ щ. (5.18)

Рассмотрим следующую совокупность предположений, которая может быть приемлема в определенных приложениях. Во-первых, предположим, что ошибка измерения щ имеет нулевое среднее и постоянную дисперсию о. Во вторых, предположим, что ошибка измерения щ независима от остатка щ в модели. Третье и наиболее важное предположение будет состоять в том, что ошибка измерения независима от лежащего в основе истинного значения wt. Это означает, что истинный уровень располагаемого дохода (в нашем примере) не содержит никакой информации о размере, знаке или значении ошибки измерения. Подставив выражение (5.18) в уравнение (5.17), получаем

Уг = 01 + 02Xt + єи (5.19)

где st = щ - 02Щ-

Уравнение (5.19) представляет линейную модель в терминах наблюдаемых переменных yt и xt с остатком St- Если мы используем доступные данные относительно наблюдаемых переменных yt и xt, и не вызывающую сомнений регрессию yt на xt и константу, то МНК-оценка b является несостоятельной для вектора неизвестных параметров 0 = (0, 02)', поскольку наблюдаемая переменная xt зависит от ошибки измерения щ и, следовательно, от остатка St-

То есть, E{xtSt} / Ои одно из необходимых условий для состоятельности b нарушено. Предположим, что fa > 0. Когда ошибка измерения в наблюдении положительна, то при этом могут возникнуть две ситуации: Xt из (5.18) имеет положительную компоненту г^, и Et из (5.19) имеет отрицательную компоненту —faut. Следовательно, xt и et коррелированны отрицательно, E{xtEt] — cov {х*, Et] < 0, и из этого следует, что МНК-оценка несостоятельна для вектора параметров /3. Когда fa < 0, то Xt и Et коррелированны положительно.

Чтобы проиллюстрировать несостоятельность МНК-оценки, напишем МНК-оценку параметра fa в виде (см. п. 2.1.2),

т

^2(xt-x){yt-y)

Ь2 = ^ , (5.20)

5>-*)2

 

где х обозначает выборочное среднее значение Xt ■ Подставив выражение (5.19) в выражение (5.20), можно получить

1 Т

b2=(32+    t=1 т         . (5.21)

 

t = l

При стремлении объема выборки к бесконечности, выборочные моменты сходятся к моментам генеральной совокупности. Таким образом,

т

^   ' t=i

^   ' t=i

 

plim62 = /?2 +          —^       =/?2 + l^f (5-22)

Последний член в правой части этого выражения не равен нулю. Во-первых,

E{xtEt} = E{(wt + ut){yt - faut)} = - foal, и, во вторых,

V{xt) = V{wt + щ} = a2 + а2,

где      = V{wt}. Следовательно,

 

plim62 = /?2 ( 1        2—Г"2 Г (5-23)

 

Поэтому оценка 62 состоятельна, если только о = 0, то есть, если нет никакой ошибки измерения. Эта оценка асимптотически смещена к нулю, если дисперсия о положительна, с тем большим смещением, чем дисперсия ошибки измерения является больше относительно дисперсии истинной переменной wt. Отношение cru/aw можно называть отношением «шума-к-сигналу», поскольку оно является отношением дисперсии ошибки измерения (шум) к дисперсии истинных значений (сигнал). Если это отношение является малым, то мы имеем малое смещение, если отношение является большим, смещение является также большим. Так что, в общем, МНК-оценка недооценивает влияние истинного располагаемого дохода, если располагаемый доход, о котором сообщают, подвержен ошибке измерения, не связанной с истинным уровнем.

Важно отметить, что свойство несостоятельности оценки Ь2 переносится и на оценку Ь для постоянного члена /Зі = E{yt — /32xt}. В частности

plim(6i - (Зі) = plim (у - b2x - Е{Уі] + (32E{xt}) =

= -pim(b2- (32)E{xt}. (5.24)

Так, если E{xt} > 0, то переоценка параметра наклона соответствует недооцениваемому свободному члену. Таким образом, общий результат состоит в следующем: несостоятельность одного элемента в векторе оценок Ъ обычно переносится на все другие элементы.

Снова подчеркнем, что в этом случае интересующая нас модель не соответствует условному математическому ожиданию зависимой переменной yt при заданной объясняющей переменной xt. Из уравнения (5.19) можно получить, что

E{ytxt} = Pi + foxt ~ f32E{utxt},

где последний член из-за соотношения (5.18) отличен от нуля. Если мы предполагаем нормальность щ, wt и ж*, то из этого следует, что (см. Приложение Б)

 

E{utxt}=   2°l 2(xt-E{xt}).

Объединяя последние два уравнения и используя выражение (5.23), мы видим, что МНК-оценка, хотя и несостоятельна для параметра fa, является состоятельной оценкой коэффициентов уравнения для условного математического ожидания сбережений yt, выраженного через заданное сообщенное располагаемое значение дохода xt, но это не то, чем мы интересуемся!5)

 

5.2.3. Одновременность: кейнсианская модель

Другая важная ситуация, где мы не интересуемся условным математическим ожиданием, возникает, когда интересующая нас модель содержит поведенческие параметры, обычно измеряющие причинные эффекты влияния объясняющих переменных, и одна или более из этих объясняющих переменных определяется одновременно с левосторонней (зависимой) переменной. Например, если мы записываем кейнсианскую функцию потребления

Ct = 01+02Yt + et, (5.25)

где Ct обозначает реальное потребление на душу населения в стране, a Yt — реальный доход на душу населения, то нам хочется интерпретировать коэффициент fa как предельную склонность к потреблению (0 < /?2 < 1)- Это означает, что fa имеет причинную интерпретацию, отражающую влияние дохода на потребление: насколько больше люди будут потреблять, если их доход увеличится на одну единицу? Однако совокупный доход Yt задается не экзогенно, поскольку будет определяться соотношением

Yt = Ct + It, (5.26)

где It определяет реальные инвестиции на душу населения. Это уравнение является определяющим уравнением для закрытой экономики и говорит, что совокупное потребление плюс совокупные инвестиции должны равняться совокупному доходу. Мы предполагаем, что это соотношение справедливо в выборке.

Предположим, что справедливо предположение (All), которое говорит, что остатки et являются независимо и одинаково распределенными по времени с нулевым средним и дисперсией <т2. Кроме

 

Этот результат может быть полезным, поскольку он подразумевает, что мы можем игнорировать проблему ошибок измерения, если мы интерпретируем коэффициенты в терминах эффектов сообщенных переменных, а не в лежащих в их основе истинных величинах. Это часто не имело бы прикладного экономического смысла, зато статистически никакой бы проблемы не существовало.

того, предполагается, что

It   и   et   независимы   (для каждого £). (5.27)

Последнее предположение говорит, что инвестиции It экзогенны и определяются независимо от остатка (то есть, определяются вне модели). Напротив, Ct и Yt — эндогенные переменные, которые определяются в модели совместно (одновременно). Модель (5.25)-(5.26) является очень простой моделью одновременных уравнений в структурной форме (или кратко: структурной моделью).

Факт, что переменная Yt является эндогенной, имеет свои последствия для оценивания функции потребления (5.25). Поскольку переменная Ct влияет на Yt в соответствии с соотношением (5.26), то мы больше не можем утверждать, что Yt и et являются некоррелированными. Следовательно, МНК-оценка для fa будет смещенной и несостоятельной. Чтобы уточнить это, полезно рассмотреть приведенную форму этой модели, в которой эндогенные переменные Ct и Yt выражаются в виде функций от экзогенной переменной It и остатка. Решая уравнения (5.25)-(5.26) относительно Ct и Yt, мы получаем уравнения приведенной формы

Yt = тАг + Т^ТГЬ + гЛг^ (5-28)

1-/?2 1-Я

'2

 

Из уравнения (5.28) следует, что

cov {Yu et} = —Ц- cov {Iu et} + Y^Viet} = (5.30)

1 - fa   1 - fa   1 ~ fa

Следовательно, уравнение (5.25) представляет линейную модель, где регрессор Yt коррелирован с остатком et- В результате МНК, примененный к модели (5.25), будет приводить к смещенным и несостоятельным оценкам. В соответствии с выводами, полученными в предыдущем пункте, имеем:

 

plim b2 = fa + y{Yt]—'            ^ )

где так что окончательно мы находим

2

plimfc = 02 + (1 - fe)T/J *      2- (5.32)

Так как 0 < /?2 < 1 и а2 > 0, то МНК-оценка будет переоценивать истинную предельную склонность к потреблению 02- Несмотря на то, что мы показали несостоятельность оценки только для коэффициента наклона, свободный член, в общем, также будет оцениваться несостоятельно (сравните с выражением (5.24)).

Эта простая модель иллюстрирует общую проблему в макроэкономических и микроэкономических моделях. Если мы рассматриваем уравнение, где одна или более объясняющие переменные определяются совместно с левосторонней переменной, то в этом уравнении, как правило, МНК-оценка будет несостоятельной для поведенческих параметров. Статистически это означает, что уравнение, которое мы написали, не соответствует условному математическому ожиданию, поэтому обычные предположения на остаток наложить нельзя.

В следующих параграфах мы рассмотрим альтернативные подходы к оцениванию единственного уравнения с эндогенными регрес-сорами, используя так называемый метод инструментальных переменных. С учетом ослабления предположения экзогенности (А7), мы сделаем упор на то, что эти подходы требуют наложения альтернативных предположений, таких, например, как предположение (5.27), которое может, а, возможно, и не может соответствовать реальности на практике. Такие предположения могут быть мотивированы в рамках представления полной системы структурных уравнений, что требует объяснения всех эндогенных переменных и определения всех существенных экзогенных переменных. Будет показано, что, если в системе имеется достаточно экзогенных переменных, которые могут выполнять функции так называемых инструментальных переменных, то интересующие нас структурные параметры можно идентифицировать и оценивать состоятельно.

Уравнения приведенной формы (5.28) и (5.29) выражают две эндогенные переменные в терминах экзогенной переменной и остатка. Следовательно, мы можем оценить параметры приведенной формы состоятельно, применяя обычный МНК к уравнениям (5.28) и (5.29). Однако, параметры приведенной формы являются нелинейными функциями параметров структурной формы (которыми мы действительно интересуемся), и возникает вопрос, предоставляют

ли нам параметры приведенной формы достаточную информацию, чтобы идентифицировать все структурные параметры. Это известная проблема идентифицируемости в моделях одновременных уравнений. Здесь мы не будем обсуждать идентифицируемость в контексте вывода структурных параметров из параметров приведенной формы. Заинтересованные читатели отсылаются к книге (Judge et al, 1988, Chapter 14) или (Green, 2000, Chapter 16)*К Вместо этого мы рассмотрим проблему идентифицируемости как проблему поиска достаточного числа инструментальных переменных для эндогенных переменных модели. Строго говоря, это обеспечивает только необходимые условия идентифицируемости.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |