Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

6.7.4. нормальная линейная модель регрессии

В этом подразделе мы рассмотрим линейную модель регрессии с нормальными независимо и одинаково распределенными остатками

(и НеЗаВИСИМЫМИ ОТ ВСеХ объЯСНЯЮЩИХ ПеремеННЫХ в веКТОре Х{).

Это модель, рассматриваемая в главе 2, дополняется предположениями (А1)-(А5). Напишем

Уі = х'ф + Єі,   Єі - НОНР(0, a2).

Здесь налагается условие, что переменная у і имеет нормальное распределение (условное по экзогенным переменным) со средним х'і/3 и постоянной дисперсией сг2. Обобщая выражение (6.9), логарифмическую функцию правдоподобия для этой модели можно записать в виде

n

logL(/?, a2) = J] logL,(/?, a2) =

г=і

N

 

 

log (2тгсг2)

 

1 N

 

(Уі - ар?

 

 

(6.22)

 

Подпись: г=1
Подпись: Вектор меток задается как

 

Подпись:    2a2 2

 

і ijyi-APf

I      ъ Л

 

/

в то время как ММП-оценки /?, а2 удовлетворяют условиям первого порядка

n

 

И

N

1 N

2d2 ' 2 ^ <тч

г=1

= 0.

Легко проверить, что решения этих уравнений имеют вид

у n       ч-1   iV n

р = (Y1 хіх'і ) Е хіУі> э2 = ы Л(уі - х&2-

^1=1   '           1=1 2=1

Оценка для вектора коэффициентов наклона идентична знакомой МНК-оценке, тогда как оценка для дисперсии отличается от МНК-значения s2 делением на 7V, а не N — К. Информационная матрица имеет вид

ma2) = E{Si((3, a2)Si(p,a2)'}.

Используя то, что для нормального распределения Е{єі} = 0, Е{е2} = сг2, Е{е^} = 0 и E{sf} = Зет4 (см. Приложение Б), можно

показать, что

Подпись: (а-2Е{ХгХ^}     О  ОПодпись: щ °2) =1

 

Поскольку эта информационная матрица блочно диагональная, то ее обращение будет равно

2-1

alE{xiXY О

О

2а4

Из этого следует, что оценки /3 и Э2 асимптотически нормальны и взаимно независимы, а именно

VN0 -ІЗ)-* ЛГ(0, а2Е{х^}-1), VN(a2 - а2) -> ЛГ(0, 2а4). Таким образом, для малых выборок приближенно справедливо, что

 

N

Заменяя а2 на ее оценку а2, получаем (приближенно)

 

Заметим, что это весьма близко к результатам, которые известны для МНК-оценки.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |