Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

7.2. модели с множественным откликом

Во многих приложениях число альтернатив, из которых можно производить выбор, больше двух. Например, мы можем различать выбор между работой, занимающей полный рабочий день, неполный рабочий день и отсутствием работы; или различать выборы вложения капитала компании в Европу, Азию или США. Для некоторых количественных переменных можно наблюдать, что они принимают значения только в определенных интервалах. Это может быть, потому, что респонденты анкетного опроса не желают давать точные ответы, или неспособны их дать, возможно, из-за концептуальных трудностей в ответе на вопрос. Примерами такого рода вопросов являются вопросы о доходе, стоимости дома, или об удовлетворении доходом или работой. Модели с множественным откликом разработаны для описания вероятности каждого из возможных исходов в виде функции личностных или альтернативно специфицированных характеристик. Основная цель состоит в том, чтобы описать эти вероятности ограниченным числом неизвестных параметров и логически согласующимся образом. Например, вероятности должны принимать значения между 0 и 1 и по всем альтернативам в сумме давать единицу.

Важное различие существует между моделями с упорядоченным множественным откликом и моделями с неупорядоченным множественным откликом. Модели с упорядоченным множественным откликом, в общем, более экономны, но могут применяться, если только существует логическое упорядочивание альтернатив. Причина заключается в том, что предполагается существование одной, лежащий в основе, латентной переменной, которая приводит к выбору между альтернативами. Другими словами результаты будут

чувствительны к упорядочиванию альтернатив, так что упорядочивание должно иметь смысл. Модели с неупорядоченным множественным откликом не чувствительны к порядку, в котором альтернативы нумеруются. Во многих случаях они могут основываться на предположении, что каждая альтернатива имеет случайный уровень полезности, и что индивидуумы выбирают альтернативу, которая приводит к наивысшей полезности.

 

7.2.7. Модели с упорядоченным откликом

Рассмотрим выбор между М альтернативами, пронумерованными от 1 до М. Если существует логическое упорядочивание в этих альтернативах (например, нет автомобиля, 1 автомобиль, большее одного автомобиля), то можно использовать так называемую модель с упорядоченным откликом. Такая модель также основана на одной, лежащей в основе, латентной переменной, но с множественным соответствием латентной переменной у* и наблюдаемой переменной у і (у і = 1, 2,... , М). Обычно полагают, что

у; = х№ + еи (7.28) Уі = j,    если   7^_і < уї < 7І? (7.29)

для неизвестных 7j с 7о = — сю, 7i = 0 и 7м = оо. Следовательно, вероятность выбора альтернативы j является вероятностью, что латентная переменная у* находится между двумя границами 7j_i и 7j. Предположение, что Єі являются независимо и одинаково распределенными стандартными нормальными случайными величинами, приводит к пробит-модели с упорядоченным откликом. Логистическое распределение приводит к логит-модели с упорядоченным откликом. При М = 2 мы возвращаемся к моделям бинарного выбора.

Рассмотрим пример из литературы — предложения труда. Предположим, что женщины, состоящие в браке, отвечают на вопрос, «Сколько бы вы хотели работать?» выбором одной из трех категорий «не хочу», «неполный рабочий день» и «полный рабочий день». Согласно неоклассической теории желаемое предложение труда, которое измеряется этими ответами, будет зависеть от предпочтений и семейных бюджетных ограничений. Так что могут быть важными переменные, связанные с возрастом, составом семьи, доходом мужа и уровнем образования. Чтобы смоделировать исходы, Уі = 1 (не работающая), уі — 2 (работающая неполный рабочий день) и у і — 3 (работающая полный рабочий день), отметим, что в этом примере в ответах, по-видимому, существует логическое упорядочивание. Точнее, разумно ли предположить, что здесь существует единственный показатель х[(3 такой, что более высокие значения этого показателя в среднем соответствуют большим значениям yi. Если это так, то мы можем написать модель с упорядоченным откликом в виде

у* =х[(3 + еи (7.30)

Уі = 1,    если  у* < 0,

Уі = 2,   если   0<у*<7, (7.31)

Уі = 3,    если  у* > 7,

где мы можем свободно интерпретировать латентную переменную у* как «желание работать» или «желаемые часы работы». Одна из границ нормирована нулем, который фиксирует положение, но нам также требуется нормировка масштаба латентной переменной у*. Самая естественная нормировка заключается в том, что Єі имеет фиксированную дисперсию. В пробит-модели с упорядоченным множественным откликом это означает, что є ~ НОНР(0, 1). Предполагаемые вероятности получаются в виде

Р{Уі = 1Хі} = Р{у* < 0Хі} = Ф(-х'ф), Р{Уі = SXi} = Р{у* > уЫ = 1 - ф(7 - х'ф),

 

И

Р{Уі = 2Хі} = ф(7 - х'ф) - Ь{-х'ф),

где 7 — неизвестный параметр, который оценивается одновременно с вектором неизвестных параметров /3. Оценивание основано на ММП, где приведенные выше вероятности входят в функцию правдоподобия. Коэффициенты /3 интерпретируются в терминах лежащей в основе модели латентной переменной (например, положительные значения коэффициентов в векторе (3 означают, что соответствующая переменная увеличивает желание женщины работать), или в терминах влияния на соответствующие вероятности, как мы видели выше для модели бинарного выбора. Предположим, что в представленной выше модели к-ът коэффициент, (3k, является положительным. Это означает, что латентная переменная у* возрастает, если возрастает объясняющая переменная . Соответственно будет возрастать вероятность исхода у і = 3, тогда как вероятность исхода у і = 1 будет убывать. Однако эффект на промежуточные категории неоднозначен; вероятность исхода у і = 2 может возрастать или убывать.

 

7.2.2. О нормировке

Для иллюстрации разных требуемых ограничений нормировки, рассмотрим модель, на которую такие ограничения не накладываются:

у* = /?і + х^ + єі,       - Я ОЯ Р(0, а2).

ї/і = 1,    если у*<7ь

Уі = 2,    если   7і < у* < 72,

Уі = 3,    если   у* > 72,

где из вектора объясняющих переменных Хі исключена константа. Так как мы только можем наблюдать, приняла ли переменная у і значение 1, 2 или 3, то единственными элементами, которые возможно идентифицировать по данным, являются вероятности этих трех исходов для заданных значений вектора объясняющих переменных Хі . Не случайно, что они в точности являются вероятностями, которые входят в функцию правдоподобия. Для иллюстрации рассмотрим вероятность исхода у і — 1 (при заданных значениях объясняющих переменных Хі), определенную в виде

 

Р{Уі = 1|Хі} = Р{0! + х[(3 + Єі < 71 Хі} = Ф

 

Из этого выражения видно, что изменение /?, а и 7і не приводит к разным вероятностям до тех пор, пока (З/а, и (71 — /Зі)/а остаются одними и теми же. Это отражает проблему идентифицируемости: различные комбинации значений параметров приводят к одному и тому же значению логарифма правдоподобия и однозначно определяемого максимума не существует. Чтобы обойти эту проблему, налагаются ограничения нормировки. В стандартной модели налагаются ограничения а — 1 и 71 = 0, но также было бы можно наложить другие ограничения, например, а — 1 и /?і = 0. Коэффициенты интерпретируются условно по специфицированному ограничению нормировки, но вероятности к этому нечувствительны. В некоторых приложениях границы соответствуют наблюдаемым значениям, а не неизвестным параметрам, и можно оценить дисперсию Єі. Пример такого приложения приводится в следующем пункте параграфа.

7.2.3. Пример: готовность платить за природные области, не затрагиваемые деятельностью человека

Интересной проблемой в общественной экономике является определение стоимости блага, которое не продается. Например, какова экономическая стоимость общественного блага, подобная лесу или «чистому воздуху»? В этом пункте параграфа мы рассмотрим пример из литературы по контингентному определению ценности. В обследованиях из этой области используется выявление готовности оплачивать ценность (ГОЦ) гипотетических изменений, связанных с доступностью некоторого нерыночного товара, например леса. Начиная с обширного исследования измерения потери благосостояния американскими гражданами в результате огромного нефтяного пятна из-за посадки на мель нефтяного танкера (Exxon Valdez) в заливе Аляска (март 1989 года), контингентальный метод определения ценности играет важную роль в измерении полезности широкого диапазона экологических благ 8).

Обсуждение контингентального оценивания (на «нетехническом» уровне) приводится в работах (Portney, 1994), (Hanemann, 1994) и (Diamond, Hausman, 1994).

Я благодарен Пауло Нунесу (Paulo Nunes) за предоставленные данные, используемые в этом пункте параграфа. Используемая здесь совокупность данных доступна как WTP в схеме анализа ГОЦ.

В этом пункте параграфа мы рассмотрим обследование, которое проводилось в Португалии в 1997 году. В обследовании устанавливались отклики индивидуумов, связанные с вопросом, какую цену они готовы заплатить, чтобы избежать коммерческого и туристического пути развития природного парка Алентийо (Alentejo) на юго-западе Португалии9^. Чтобы узнать, какова ГОЦ индивидуума, непосредственно не спрашивалось, какую цену индивидуум готов заплатить, чтобы сохранить парк. Вместо этого каждый индивидуум і в выборке сталкивается с потенциально различным начальным предложением цены В{, и у него спрашивалось, готов он заплатить эту цену или нет. Интервьюеры использовали так называемую двойную ограниченную процедуру: каждый индивидуум опрашивался о готовности платить последующую предложенную цену, которая выше (ниже), если им было принято (отклонено) начальное предложение цены. Таким образом, для каждого респондента мы имеем начальное предложение цены В{ и одно из последующих предложений цены, В или В^, где В^ < В{ < ВУ. Каждый индивидуум в выборке сталкивался с вопросом о готовности платить случайно предложенную начальную цену, а последующее предложение цены зависело от величины начального предложения в соответствии со следующей схемой:10)

 

 

Начальное предложение

Повышенное предложение

Пониженное предложение

Схема 1

1200

3600

600

Схема 2

2400

4800

1200

Схема 3

4800

9600

2400

Схема 4

9600

24000

4800

 

Готовность оплачивать ценность (ГОЦ) индивидуумом, нена-блюдаема и будет обозначаться латентной переменной J5*. Чтобы смоделировать, как латентная переменная В* изменяется с личностными характеристиками, представленными в векторе Хі, мы можем специфицировать линейное соотношение

В* = х',Р + Ег, (7.32)

где Єі — ненаблюдаемый остаток, не зависимый от вектора объясняющих личностных характеристик х^. Могут наблюдаться четыре возможных результата, индексируемые зависимой переменной Уі — 1, 2, 3, 4. В частности,

у і — 1, если оба предложения цены отклоняются {В < Вгь);

у і = 2, если первое предложение цены отклоняется, а второе принимается (Вгь < В* < J3/);

у і = 3, если первое предложение цены принимается,

а второе предложение отклоняется (В/ < В* < В\%)

у і — 4, если оба предложения цены принимаются (J3* > В^),

Если мы предполагаем, что Єі ~   то приведенная

Цены приведены в эскудо. Двести эскудо приблизительно равны 1 евро.

выше постановка соответствует пробит-модели с упорядоченным множественным откликом. Поскольку границы В, В{ и В^ наблюдаются, то никакой нормировки на дисперсию а2 не требуется, и ее можно оценить. Отметим, что в этом приложении латентная переменная В* имеет ясную интерпретацию — готовность оплачивать ценность (ГОЦ) человеком, измеренную в эскудо. Согласно вышеупомянутым предположениям вероятность наблюдения последнего исхода (уі = 4) задается в виде11)

Р{Уі = 4|гг,} = Р{х'г(3 + ег > В?хг} = 1 -Ф^~Х'і(3у (7.33)

Точно так же вероятность наблюдения второго исхода равна Р{Уі = 2хі} = Р{В^ < х'ф + Єі< В!хі] =

= ф(в-';^)~ф(в^). (7.34)

Другие две вероятности можно получить аналогично. Эти вероятности непосредственно входят в логарифмическую функцию правдоподобия, максимизация которой приводит к состоятельным оценкам для вектора неизвестных параметров (5 и дисперсии а2.

Первая модель, которую мы оцениваем, содержит только свободный член. Она представляет интерес, поскольку может интерпретироваться как описание (безусловного) распределения готовности оплачивать ценность населением. Вторая модель включает три объясняющие переменные, которые могут влиять на ГОЦ индивидуумов. Это переменные возраста, пола и дохода индивидуума. Следовательно, применяя ММП, мы оцениваем две различные модели, одну только со свободным членом и другую, которая включает возрастную группу (от 1 до 6 группы), женскую фиктивную переменную и группу дохода (проранжированные от 1 до 8 группы). Результаты представлены в таблице 7.3. В подвыборке, которую мы использовали, в общей сложности бралось интервью у N = 312 человек, из которых 123 человека (39\%) ответили Нет на оба предложения цены, 18 человек ответили Нет-Да, 113 человек — Да-Нет и 58 человек ответили Да на оба предложения.

Поскольку латентная переменная В* распределена непрерывно, то вероятность каждого исхода равна нулю. Это означает, что равенства заменяются соответствующими неравенствами.

Для модели только со свободным членом мы видим, что оцененное среднее ГОЦ равно почти 3748 эскудо (приблизительно 19 евро) с довольно большим среднеквадратичным отклонением, равным

Отметим, что Р{В* < 0} = Ф(—/і/сг), если латентная переменная В* распределена нормально со средним /і и среднеквадратичным отклонением а. Подстановка оцененных значений приводит к вероятности, равной 0,31. Эта интерпретация подобна интерпретации, используемой в тобит-моделях. См. ниже.

Если у ~ N(fi, сг2), то мы имеем, что Е{уу > с} = /і + а(с — /і|/сг), где А(£) = ф(—і)/Ф(—і) > 0. Подробности см. в Приложении Б.

7722,4 эскудо. Поскольку мы предполагали, что распределение латентной переменной В* нормально, то это означает, что 31\% населения имеет отрицательную готовность оплачивать цену12 Так как это невозможно, то мы даем иное толкование латентной переменной, как «желаемой ГОЦ», фактическая ГОЦ будет максимумом из нуля и желаемой величины13^. В этом случае фактическая ГОЦ при условии, что она положительна, описывается усеченным нормальным распределением, оцененное математическое ожидание которого равно 7738 эскудо ы Оценка для ожидаемого ГОЦ по всей выборке тогда равна 7738,2 х 0,69 = 5310 эскудо (приблизительно 27 евро), поскольку 31\% имеет нулевую готовность платить цену. Ее умножение на общее количество семей населения (приблизительно 3 миллиона) приводит к оцененной общей готовности платить цену приблизительно в сумме 80 миллионов евро.

Для устранения проблемы отрицательных значений латентной переменной В* включение личностных характеристик не очень полезно. Очевидно, что существует относительно большая группа людей, которая говорит Нет обоим предложениям цены, так что налагаемое нормальное распределение порождает существенную вероятностную меру в отрицательной области. Включенными объясняющими переменными являются возраст, с шестью возрастными группами (< 29,29 — 39,..., > 69), женская фиктивная переменная и доход (с восемью группами). При включении этих переменных свободный член больше не имеет ту же интерпретацию, что и прежде. Теперь, например, ожидаемая готовность заплатить мужчиной, попавшем в группу дохода 1 (< 75 ООО эскудо), и в возрасте между 20 и 29 годами, равна 7058,2 — 1386,6 + 977,5 = 6649 эскудо, или, принимая во внимание цензурирование, 7366 эскудо (приблизительно 37 евро). Мы видим, что ГОЦ существенно уменьшается с возрастом и увеличивается с доходом, тогда как нет никакого статистического свидетельства о наличии эффекта пола.

Как и в бинарной пробит-модели предположение о нормальности здесь является критическим для состоятельности оценок, так же как и для интерпретации оценок параметров (в терминах ожидаемого ГОЦ). Тестирование на нормальность можно провести в пределах схемы множителей Лагранжа, обсужденной в параграфе 6.2. Как и прежде, альтернативная гипотеза состоит в том, что соответствующее распределение принадлежит семейству распределений Пирсона, и критерий на нормальность тестирует два параметрических ограничения. К сожалению, аналитические выражения довольно сложные, и здесь приводится не будут (см. (Glewwe, 1997)). При нулевой гипотезе нормальности критические статистики имеют хи-квадрат распределение с двумя степенями свободы. Две статистики в таблице указывают на отклонение нормальности для простой модели только со свободным членом, но не приводят к отклонению модели с индивидуальными характеристиками.

 

7.2.4. Мультиномиальные модели

В некоторых случаях никакого естественного упорядочивания в альтернативах не существует, и нереально предполагать, что между единственной лежащей в основе латентной переменной и наблюдаемыми исходами существует монотонное соотношение. Рассмотрим, например, моделирование способа транспортировки (автобусом, поездом, автомобилем, велосипедом, пешком). В таких случаях следует использовать альтернативную структуру, чтобы предложить некоторую структуру различных вероятностей. Общим отправным пунктом является случайная структура полезности, в которой полезность каждой альтернативы является линейной функцией от наблюдаемых характеристик (индивидуальных и/или специфицированных альтернативно) плюс аддитивный остаток. Предполагается, что индивидуумы выбирают альтернативу с наивысшей полезностью. С соответствующими предположениями об общем распределении этих остатков такой подход приводит к управляемым выражениям для вероятностей, подразумеваемых моделью.

Для формализации предположим, что существует выбор между М альтернативами, индексированными как j — 1, 2,... , М, отметив, что их порядок произвольный. Затем предположим, что уровень полезности, который индивидуум г приприсывает каждой из альтернатив, задается \]цj; = 1, 2,... , М. Тогда индивидуумом і выбирается альтернатива j, если она обладает наивысшей полезностью, то есть, если Uij = max{C/ii, • • • 5 ^гм}- Конечно эти уровни полезности не наблюдаются, и мы должны сделать некоторые дополнительные предположения, чтобы сделать эту постановку оперативной. Предположим, что Uij = fiij + Sij, где fiij — нестохастическая функция наблюдаемых переменных и небольшого числа неизвестных параметров, а     — ненаблюдаемый случайный остаток. Отсюда следует, что

р{Уг = j} = P{Uij = max{E/ii,... , UiM}} =

= P fiij + Sij >      max     {fiik +€ik}. (7.35)

Чтобы оценивать эту вероятность, мы что-то должны сказать о максимуме некоторого количества случайных переменных. В общем, это сложно, но для получения результата очень удобно предположить, что все Sij взаимно независимы и подчиняются так называемому логарифмическому распределениею Вейбулла (также известным как распределение экстремальных значений типа I). В этом случае функция распределения каждого      имеет вид

F{t) = ехр{-е~*}, (7.36)

которая не включает неизвестные параметры. При этих предположениях можно показать, что

Заметим, что эта структура автоматически подразумевает, что

о < Р{уі = Л < 1

и что

м

= :?} = !•

 

Распределение отражает масштабный параметр полезности (который является неопределенным), но не параметр локализации. Чтобы решить вопрос местоположения, обычно нормируют один из детерминированных уровней полезности к нулю, например, ііц — 0. Обычно предполагается, что /х^ является линейной функцией наблюдаемых переменных, которые могут зависеть от индивидуального (г) или от альтернативы (j), или от того и другого. Таким образом, мы пишем /х^ = x[jf3. Тогда мы получаем

рг   =   exp {x'jft}        

ІУг    Л    1 + exp {x'i2(3} + ... + exp {х*ш/3} ' (7.38) j = l,2,...,M.

Что является так называемой мультиномиальной логит-моделью

15) Вероятность, что случайная переменная Xj является наибольшей из совокупности случайных переменных хі, Х2, . •. , хм» является вероятностью, что хз — хк > 0 для /с = 1, ... , М, к ф з. Это является (М — 1)-мерным подпространством RM, и, таким образом, вероятность равна интегралу функции совместной плотности распределения хі, ... , хм по этому (М — 1)-мерному пространству. Для умеренных значений М интеграл легко поддается обработке только при очень ограниченных предположениях о совместной плотности распределения хі, . .. , хм-

или независимой логит-моделью; подробности происхождения этой модели, см. у Грина (Greene, 2000, Sect. 19.7). Если существуют только две альтернативы (М = 2), то эта модель сводится к стандартной бинарной логит-модели. Вероятность индивидуальной альтернативы выбора j имеет простое выражение от объясняющих переменных и коэффициентов /3 из-за удобного предположения, сделанного о распределении ненаблюдаемых остатков. Например, если бы мы предположили, что Sij имеют независимые стандартные нормальные распределения, то вероятности включали бы М — 1 интегралов 15 которые в вычислительном отношении непривлекательны. Как и прежде, мультиномиальная модель оценивается ММП, где приведенные выше вероятности входят в функцию правдоподобия.

Обычной ситуацией является включение в х'ц /3 альтернативных специфических характеристик. Для объяснения способа транспортировки можно включить такие переменные как время в пути и затраты, которые могут изменяться по индивидуумам. Отрицательный коэффициент в векторе (3 тогда означает, что полезность альтернативы уменьшена, если время в пути увеличивается. Следовательно, если время в пути одной из альтернатив уменьшается (в то время как другие альтернативы не затрагиваются), то эта альтернатива получит более высокую вероятность выбора. Другими обстоятельствами для включения характеристик в x[j/3 являются личностные характеристики (как, например, возраст и пол) с коэффициентами, которые являются альтернативно специфическими. Например, при прочих равных условиях можно показать, что мужчины будут путешествовать более вероятно на машине, чем женщины.

Несмотря на привлекательность аналитических выражений в мультиномиальной логит-модели, имеется один большой недостаток, который возникает из-за предположения, что все остатки eij являются независимыми. Это означает, что (условные по наблюдаемым характеристикам) уровни полезности любых двух альтернатив независимы. Это особенно противоречиво, если две или больше альтернатив очень похожи. Типичный пример состоял бы в разложении категории «путешествие автобусом» на «путешествие в синем автобусе» и «путешествие в красном автобусе». Ясно, мы ожидали бы, что высокая полезность красного автобуса подразумевает высокую полезность синего автобуса. Другой способ увидеть проблему состоит в том, чтобы отметить, что отношение вероятности двух альтернатив не зависит от природы любой из других альтернатив. Предположим, что альтернатива 1 обозначает путешествие на машине, а альтернатива 2 обозначает путешествие (в синем) автобусе. Тогда отношение вероятности (или отношение шансов) имеет вид

Р{Уг = 2} Р{Уг = 1} = exp {x'i2f3}

(7.39)

независимо от того, является ли третья альтернатива красным автобусом или поездом. Ясно, что это иногда нежелательно. Мак-фадден (McFadden, 1974) назвал это свойство мультиномиальной логит-модели независимостью несущественных альтернатив (ННА). Свойство ННА можно ослабить, но в общем это приводит (концептуально и в вычислительном отношении) к более сложным моделям (см., например, (Amemiya, 1981), или (Maddala, 1983)). Поэтому в прикладной работе, тем не менее, очень часто применяется мультиномиальная л огит-модель.

Завершим этот параграф небольшим примером из маркетинга, который подразумевает, скорее, установление предпочтения, чем наблюдаемый выбор. Предположим, что респондентов просят определить предпочитаемую ими кофеварку, скажем, из пяти альтернативных комбинаций характеристик (вместимости, цены, специального фильтра (да/нет) и термоса (да/нет)). Как правило, комбинации неодинаковы для всех респондентов. Будем ссылаться на эти характеристики как на Xij. Чтобы удостовериться, что рц = 0, Xij измеряются в разностях от кофеварки, взятой, без потери общности, для определения начала отсчета, соответствующей альтернативе 1. Вероятность, что респондент выбирает альтернативу j, может быть (предполагается, что это так) описана мультиномиальной логит-моделью

P{Vi = j}

ехр {х'^0}

1 + ехр {x'i2/3} + ... + ехр {х'і5/3} '

(7.40)

Положительный коэффициент в векторе /3 подразумевает, что индивидуумы приписывают соответствующей характеристике положительную полезность.

Согласно соответствующим предположениям оцененную модель можно использовать для прогнозирования индивидуальной вероятности выбора альтернативы, которая еще не находится на рынке при условии, что эта альтернатива является (новой) комбинацией существующих характеристик. Для иллюстрации предположим, что текущий рынок для кофеварок состоит из двух продуктов: машина на 10 чашек без фильтра и термоса за 25 евро (z) и машина на 15 чашек с фильтром за 35 евро (22). В то же время марка X рассматривается в качестве ее выведения на рынок как нового продукта: кофеварка на 12 чашек с фильтром и термосом за 33 евро (23). Если респонденты представительны для тех, кто покупает кофеварки, то ожидаемую долю на рынке этого нового продукта, соответствующую вероятности предпочтения новой машины двум существующим, можно оценить как

exp{(z3 -zi)'@}

1 + ехр {(z2 - zi)'0} + ехр {(z3 - Zl)'J3} '

где /3 — оценка максимального правдоподобия для вектора неизвестных параметре (3. Фактически, было бы возможно выбрать оптимальную комбинацию характеристик ^з, чтобы максимизировать эту оцененную долю на рынке 16^.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |