Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

Одномерные модели временных рядов

 

Одна из целей анализа экономических данных состоит в предсказании или прогнозировании будущих значений экономических переменных. Один из подходов в достижении этой цели заключается в том, чтобы построить более или менее структурированную экономет-рическую модель, описывающую соотношение связывающее интересующую нас переменную с другими экономическими переменными, оценить эту модель, используя данные выборки, и применить ее в качестве основы для прогнозирования и вывода. Хотя этот подход привлекателен тем, что позволяет дать экономическую интерпретацию предсказаниям, он не всегда оказывается практически полезным. Например, можно адекватно смоделировать одновременное соотношение между безработицей и уровнем инфляции, «привязанными» к одному и тому же моменту времени, но пока мы не сможем предсказать будущие темпы инфляции, мы также не способны прогнозировать будущую безработицу.

В этой главе мы последуем по другому пути, применяя подход «чисто временного ряда». В этом подходе текущие значения экономической переменной связаны с ее прошлыми значениями (либо напрямую, либо косвенно). Для прогнозирования будущих значений переменной используется информация только о прошлых значениях этой переменной. Кроме того, для построения прогнозов модели временного ряда также оперируют с распределениями будущих значений, условными по прошлому, и тогда эти распределения можно применить для оценивания правдоподобности определенных событий.

В этой главе мы обсудим класс так называемых моделей АРПСС, которые разработаны для моделирования поведения временного ряда. В параграфах 8.1 и 8.2 мы проанализируем свойства этих моделей и их взаимосвязь. Важной проблемой является проблема стационарности процесса временного ряда, которая подразумевает, что распределение интересующей нас переменной не зависит от времени. Нестационарность может проявляться по-разному, но важным ее признаком является наличие так называемых единичных корней. В параграфах 8.3 и 8.4 обсуждается проблема наличия единичных корней и тестирование нестационарности этого типа, в то время как в параграфе 8.5 приводится эмпирический пример, касающийся обменных курсов валют и рыночных цен. В параграфе 8.6 обсуждается оценивание параметров статистических моделей, тогда как в параграфе 8.7 объясняется процесс выбора подходящей модели АРПСС. В параграфе 8.8 демонстрируется, как полученную в результате оценивания одномерную модель временного ряда можно применить для прогнозирования будущих значений экономической переменной. Чтобы проиллюстрировать использование таких прогнозов в экономическом контексте, в параграфе 8.9 анализируется теория ожиданий в териминах структуры процентных ставок. И, наконец, в параграфе 8.10 представлены авторегрессионные условно гетероскедастичные модели, которые объясняют дисперсию рядов (остаточных членов) по их предистории.

Основополагающей работой по оцениванию и идентификации моделей АРПСС является монография Бокса и Дженкинса (Box and Jenkins, 1976)*). Дополнительные детали и обсуждение более свежих тем можно найти во многих учебниках по анализу временных рядов. Для экономистов особенно подходят Миллс (Mills, 1990), Эндерс (Enders, 1995) и Дайболд (Diebold, 1998). Превосходное изложение на более глубоком уровне предоставлено Гамильтоном (Hamilton, 1994).

 

Русский перевод: Бокс Дою., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1, 2. М.: Мир, 1974 (примеч. научн. ред. перевода).

8.1. Введение

В общем случае мы рассмотрим временной ряд наблюдений некоторой переменной, например, уровень безработицы, обозначаемый Yi,..., Yt . Эти наблюдения будут рассматриваться как реализации случайных переменных, которые описываются некоторым стохастическим процессом. Анализируемый ряд обладает свойствами этого стохастического процесса, который мы попытаемся описать относительно простой моделью. Особенно важна взаимосвязь наблюдений, соответствующих разным периодам времени, для того, чтобы мы могли использовать динамические свойства ряда для предсказаний на будущие периоды времени.

 

8.1.1. Некоторые примеры

Один из простых способов смоделировать зависимость между последовательными наблюдениями мог бы состоять в том, что Yt равняется постоянному среднему /л, плюс сумма случайной переменной St и константы а, умноженной на ее значение, запаздывающее на один период, то есть,

Yt = fjL + et + ast-u    st ~ НОР(0, а2), (8.1)

где НОР(0, а2), как и прежде, обозначает независимость и одинаковую распределенность случайных величин (в данном случае £i, £2) • • •) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Случайная переменная et не предсказуема из предыстории процесса, и поэтому не зависит от Yt-, Yt-2, • • • • Процесс (8.1) называется процессом скользящего среднего (процессом СС): кроме среднего fi, Y включает в себя взвешенное среднее е и є о, Y2 — взвешенное среднее е2 и Єї, и т. д. В частности, процесс (8.1) называется процессом скользящего среднего первого порядка или процессом СС(1), поскольку максимальная длина лага равна единице. Величины Yt определяются в терминах ненаблюдаемых величин St, которые являются независимо и идентично распределенными случайными переменными. Мы будем говорить о процессе St как о процессе белого шума. Если не указано иное, то в этой главе et всегда будет таким процессом, который гомоскедастичен, и не обнаруживает никакой автокорреляции.

Модель (8.1) является экономным способом описания процесса Yt с определенными свойствами. Таким образом, модель (8.1) подразумевает ограничения на свойства временного ряда. В общем,

совместное распределение всех величин Yt характеризуется так называемыми автоковариациями, ковариациями между Yt и одним из его лагов Yt-k- В случае процесса скользящего среднего СС(1) мы имеем

V{Yt} = E{(et + aet-i)2} = E{e2t} + а2£{є?_і} = (а + а2)а2,

cov {Уі, Yt-г} = E{(et + aet-i)(et-i +     = аЕ{є2_г} = ао2

cov {Yu Yt-2} = #{(є* + ocet-i){et-2 + аєг-з)} = О, или, в общем,

cov{Ft,F,_fc} = 0   для   к = 2,3,4,... .

Следовательно, если мы рассматриваем Г-мерный вектор

Y = (y1,Y2,...,YTy,

то его ковариационная матрица полностью описывается предположениями модели (8.1). Таким образом, мы можем написать

V{Y} = Е,

где Е — ТхТ матрица с элементами cov {Уі, Уі-fc} в позиции (i, t—k). Эта матрица на диагонали имеет элементы, равные (1 + а2)а2, и только ниже и выше диагонали — элементы, равные асг2, тогда как остальные элементы равны нулю. Таким образом, простая структура скользящего среднего подразумевает, что наблюдения, которые разделяются двумя или более тактами времени, являются некорре-лироваными. Возможно, что такая структура слишком ограничена, и нам захочется поискать более общие представления временного ряда. Обобщение модели (8.1) имеет вид

оо

Yt = V + Е        а° =       £t ~ ЯОР(°> *2)- (8-2)

3=0

Обычно веса otj в этом бесконечном суммировании будут уменьшаться при возрастании j и будут сходиться к нулю для «бесконечного» j. Это означает, что влияние прошлых значений et-j на настоящие значения Yt становятся все более и более малыми. Например, мы могли бы предположить, что

а - — QJ   для некоторого 0,     |0| < 1. (8.3)

В этом случае справедливо, что

оо

Yt=n + Y,V£t-3. (8-4) 3=0

Поскольку мы можем также написать, что

сю 3=0

то из этого следует, что

оо оо 3=0 j=o

оо сю

- /і - 6fi + Y Pet-j - Y eJe*-3 = 6 + (8'5) j=0 3=1

где 5 — i — 9 ц. Таким образом, мы имеем выражение

Yt=6 + 6Yt-1+eu (8.6)

которое, определив yt — Yt — /х, мы можем написать как

yt = 6yt-i + eu    et ~ Я OP(0, a2). (8.7)

Процесс (8.7) называется процессом авторегрессии первого порядка или процессом АР(1). Он говорит, что текущее значение yt равняется 9, умноженное на его предыдущее значение, плюс непредсказуемая компонента St - Мы видели процессы, подобные этому, ранее, когда обсуждали автокорреляцию (первого порядка) в линейной модели регрессии. Запись моделей временных рядов в терминах yt, а не Yt, более удобна в обозначениях, и такую запись мы будем применять часто в этой главе. Ненулевые средние можно учесть добавлением в модель свободного члена, который для моделей скользящего среднего соответствует среднему значению fi переменной Yt. Для моделей авторегрессии среднее значение является функцией свободного члена 6 и параметров модели АР. Напомним, что V^Y^} = V{yt}.

Динамические свойства ряда yt можно определить, используя либо выражение (8.7), либо (8.4). Последнее выражение называется представлением процесса авторегрессии процессом скользящего среднего: процесс АР (8.7) записывается как процесс С С бесконечного порядка. Как мы увидим, для некоторых целей одно представление более удобно, чем другое. Выводы, основанные на представлении (8.7), являются несложными, если мы налагаем условие, что дисперсии и автоковариации не зависят от индекса t. Это условие является так называемым предположением стационарности, и мы возвратимся к нему ниже. Записывая

V{yt} = V{6yt-i + et} = e2V{yt^} + V{et},

и накладывая условие V{yt} = V{yt-i}, мы получаем

 

Из полученного в результате выражения ясно, что мы можем наложить условие V{yt} = V{yt-i}, только если |0| < 1, как предполагалось ранее. Кроме того, мы можем определить, что

cov {yuVt-i} = E{yt,yt-i} = E{{6yt-i +et)yt-i} =

= 0V{yt-i} = 0T^p, (8.9) и, вообще (для к = 1, 2, 3,...),

cav{yt,yt_k} = 6kT^p. (8.10)

Следовательно, ковариационная матрица Е вектора у является полной Т х Г матрицей (при условии, что 9 Ф 0). Элемент (s, £) этой матрицы равен

cav{yetyt} = e^T^. (8.11)

Пока 9 не равно нулю, любые два наблюдения над yt имеют ненулевую корреляцию, и в то же время эта зависимость уменьшается (и, потенциально, может быть сколь угодно близкой к нулю), если наблюдения отстоят друг от друга все дальше и дальше. Заметим, что ковариация между yt и yt-k зависит только от А:, но не от і. Это отражает стационарность процесса.

 

8.1.2. Стационарность и автокорреляционная функция

Стохастический процесс, как говорят, является строго стационарным, если на его свойства не влияет изменение начала отсчета времени; другими словами, на совместное распределение вероятностей вектора (у^і, 2/£2> • • • ? Vtk) ПРИ Л1°бом заданном множестве отсчетов времени <i, £2, ..., £fc не влияет произвольный сдвиг по оси времени. Это означает, что распределение у то же самое, что и для любого другого значения yt, а также, например, что ковариации между yt и yt-k для любого к не зависят от t. Обычно, мы будем рассматривать только средние, дисперсии и ковариации ряда, и достаточно наложить условие, что от времени не зависят эти моменты, а не все распределение. Такое условие называется слабой стационарностью или ковариационной стационарностью*^. Формально, процесс {Yt} определяется как слабо стационарный, если для всех t справедливо:

E{Yt) = ц < оо (8.12)

V{Yt) = E{(Yt - /х)2} = 7о < оо (8.13)

cov{Yt,Yt-k} = E{(Yt-n)(Yt-k-n)} = >yk,   fc = 1,2,3,... . (8.14)

В последующем термин «стационарность» употребляется для обозначения «слабой стационарности». Условия (8.12) и (8.13) требуют, чтобы процесс имел постоянные конечные среднее и дисперсию, в то время как условие (8.14) утверждает, что автоковариации Yt, зависят только от временного интервала между двумя наблюдениями. Таким образом, среднее, дисперсии и автоковариации не зависят от времени. Строгая стационарность является более сильным условием г поскольку она требует, чтобы изменение временного горизонта не влияло на полное распределение, а не только на моменты первого и второго порядка. Очевидно, что совместное нормальное распределение полностью характеризуется моментами первого и второго порядка, поэтому в этом случае строгая и слабая стационарность эквивалентны.

При условии ковариационной стационарности мы можем определить автоковариацию к-го порядка 7^ :

7fc = cov {yu yt-k} = cov {yt, yt+fc}, (8.15)

которая при к = 0 будет дисперсией yt. Так как автоковариации зависимы от единиц, в которых измеряются переменные, то обычно их стандартизируют с помощью перехода к автокорреляциям рк как

cov {yt,yt-k}     1к       (Л Л Лч

 

Заметим, что ро = 1, в то время как — 1 < рь < 1. Автокорреляции, рассматриваемые как функции от fc, называются автокорреляционной функцией (АКФ) или, иногда, коррелограммой ряда yt. Автокорреляционная функция играет важную роль в моделировании зависимостей между наблюдениями, потому что она характеризует

 

Для определения такого типа стационарности используется также термин «стационарность в широком смысле» (примеч. научн. ред. перевода). Строгая стационарность, в частности не обязательно означает, что первые и вторые моменты конечны.

процесс, описывающий развитие yt с течением времени. Процесс yt описывается, помимо АКФ р^, своим средним и своей дисперсией 7q.

Из АКФ мы можем сделать вывод о степени коррелированно-сти одной из величин процесса с предшествующими величинами, и, таким образом, продолжительность и силу памяти процесса. Автокорреляционная функция показывает, как долго (и как сильно) «возмущение» процесса (et) влияет на значения yt. Для двух процессов, как мы видели выше, имеем следующее. Для процесса авторегрессии АР(1)

yt = Oyt-i +et мы имеем коэффициенты автокорреляции

Pk = ek,

в то время как для процесса скользящего среднего СС(1)

yt=6t+ OLSt-1

мы имеем

сх

Рі = ——ї   и   Pfc = °>    к = 2,3,4,... . 1 + or

Следовательйо, возмущение в процессе СС(1) влияет на yt только в течение двух периодов, в то время как возмущение в процессе АР(1) воздействует на все будущие наблюдения с убывающим эффектом.

В качестве иллюстрации, мы сгенерировали несколько искусственных временных рядов в соответствии с процессом авторегрессии первого порядка, а также с процессом скользящего среднего первого порядка. Данные для смоделированных процессов АР(1) с параметром равным 0,5 и 0,9, изображены на рисунке 8.1 совместно с их автокорреляционными функциями. Все ряды стандартизированы и имеют дисперсию, равную единице, и среднее, равное нулю. Если мы сравним ряды процесса АР с в = 0,5 и в — 0,9, то окажется, что последний процесс более гладкий, то есть, имеет более высокую степень инерции. Это означает, что, после возмущения для этого ряда требуется более длительный период, чтобы возвратиться к своему среднему значению. В обоих случаях автокорреляционные функции показывают экспоненциальное затухание, хотя для АКФ ряда с в = 0,9 требуются большие лаги, чтобы АКФ достигла нуля.

Например, после 15 периодов, эффект возмущения все еще равен 0,915 = 0,21 от его исходного эффекта. Для ряда с 9 = 0,5 эффект в лаге 15, фактически, нулевой.

Данные и АКФ для двух смоделированных процессов скользящего среднего с a = 0,5 и a = 0,9 показаны на рисунке 8.2. Разница между этими двумя процессами менее явная, чем в случае процесса АР. Для обоих рядов возмущения имеют эффект только в двух последующих периодах. Это означает, что при отсутствии новых возмущений, ряды возвращаются к своим средним значениям после двух периодов. Коэффициенты автокорреляции первого порядка не отличаются намного, и равняются 0,40 и 0,50 соответственно.

 

8.2. Общие процессы

авторегрессии-скользящего среднего (АРСС)

8.2.1. Формулировка процессов АРСС

В этом разделе мы определим более общие процессы авторегрессии и скользящего среднего. Сначала мы определим процесс скользящего среднего порядка q или, кратко, процесс CC(q):

yt = St + aiSt-l + . . . + OLqSt-q, (8-І7)

где et является процессом белого шума. Таким образом, наблюдаемый ряд yt является взвешенной комбинацией q + 1 членов белого шума. Процесс авторегрессии порядка р, процесс АР(р), имеет вид

Vt = 0іУі-і + 92yt-2 + ... + 0pyt-P + et. (8.18)

Очевидно, что спецификации авторегрессии и скользящего среднего можно объединить в модель авторегрессии-скользящего среднего АРСС(р, д), которая состоит из компоненты АР порядка р и компоненты С С порядка q

yt = 9Уі-1 + • • • + 0pyt-p + St+ ai£t-l + . . . + OLqSt-q. (8.19)

Фактически, нет никакого фундаментального различия между процессом скользящего среднего и процессом авторегрессии. При подходящих условиях (см. ниже) модель АР можно записать как модель С С и наоборот. Порядок одной из них обычно весьма большой, и выбор из моделей СС, AR или объединенного представления АРСС является вопросом экономии*^. Например, мы видели выше, что модель АР(1) можно записать как модель скользящего среднего бесконечного порядка СС(оо). Для некоторых целей удобно АР представление модели, тогда как для других целей удобно представление СС. Это станет ясным ниже.

Часто удобно использовать оператор сдвига, обозначаемый L (некоторые авторы применяют В, оператор обратного сдвига). Он определяется в виде

Lyt = Vt-i. (8-20) Большей частью с оператором сдвига можно обращаться так же просто, как и с константой. Например,

L2yt = L(Lyt) = Lyt_i = yt_2,

так что более обще Lpyt = yt-p с L° = 1. Операция L на константе оставляет константу неизменной, например, Lfi — /і. Применение этого оператора сдвига позволяет нам записывать модели АРСС кратко. Для модели АР(1) мы можем написать

yt = eLyt+eu (8.21)

или

{l-9L)yt = et. (8.22)

Это говорит, что комбинация yt и его лага с весами 1 и —0 равняется процессу белого шума. Аналогично, мы можем написать общую модель АР(р) как

e(L)yt=et. (8.23)

где 9(L) — полином порядка р от оператора сдвига L, обычно называемый полиномом от оператора сдвига, задаваемый в виде

9{L) = 1 - 01L - в2Ь2 - ... - врЬр. (8.24)

Мы можем интерпретировать полином от оператора сдвига как фильтр, который, если применяется к временному ряду, генерирует новый временной ряд. Таким образом, когда фильтр 9{L) применяется к процессу АР(р), yt, то генерирует процесс белого шума et-С полиномами от оператора сдвига обращаться относительно легко. Например, преобразование ряда двумя такими полиномами одним за другим является тем же, что и преобразование ряда один раз

 

То есть —лаконичности параметризации модели (примеч. научн. ред. перевода).

полиномом, который является произведением двух исходных полиномов. Таким способом мы можем определить обращение фильтра, который естественно задается обращением полинома. Таким образом, обращение 0(L), обозначаемое 6~г(Ь), определяется так, что должно удовлетворяться соотношение 6~1(L)9(L) = 1. Если 6(L) является полиномом от оператора сдвига L конечного порядка, то его обращение будет полиномом бесконечного порядка. В случае модели АР(1) находим

оо

{1-6L)'1 =^ejLJ, (8.25) при условии, что 6 < 1. Это аналогично результату, что беско-

оо

нечная сумма       #J равна (1 — 6)~х, если |0| < 1, в то же время

3=0

эта сумма расходится при > 1. В общем, обращение полинома 6(L) существует, если он удовлетворяет некоторым условиям на свои параметры, и в этом случае мы называем полином 9(L) обратимым. Обратимый полином будет обсуждаться в следующем пункте параграфа. С помощью (8.25) мы можем написать модель АР(1) как

{l-9L)-l{l-eL)yt = (-eL)-let

или

оо оо

yt = J2e^L^t = ^2e^t4, (8.26)

3=0 3=0

что соответствует модели (8.4) выше.

При соответствующих условиях обращение также возможно, и мы можем написать модель скользящего среднего в форме авторегрессии. Используя оператор сдвига, мы можем написать процесс СС(1) как

yt = (l + aL)et, а общий процесс CC{q) в виде

yt = a(L)et,

где

a(L) = 1 + axL + a2L2 + ... + aqLq. (8.27)

Заметим, что мы определили полиномы так, что полином СС имеет знаки плюс, в то время как полином АР имеет знаки минус. Теперь, если a   (L) существует, то мы можем написать выражение

a-L)yt = eu (8.28)

которое, в общем, будет моделью АР бесконечного порядка. В случае модели СС(1) мы используем, аналогично модели АР(1) (8.25),

оо

(1 + aL)-1 = ]T(-a)'L', (8.29)

 

при условии, что а < 1. Следовательно, модель СС(1) можно записать в виде

оо

yt = a ^(-a)3yt-j-i + et. (8.30) з=о

Необходимое условие для существования бесконечного АР (АР(оо)) представления модели, состоит в том, что полином С С является обратимым, которое в случае СС(1) требует, чтобы а < 1. В частности, представления АР очень удобны для того, чтобы строить прогнозы, условные по наблюдаемому прошлому (см. раздел 8.8 ниже). Представления СС часто удобны для определения дисперсий и ковариаций.

Для более экономного представления можно работать с моделью АРСС, которая содержит как авторегрессионную компоненту, так и компоненту скользящего среднего. Общую модель АРСС можно написать как

6{L)yt = a(L)et, (8.31)

которую (если полином от оператора сдвига компоненты АР общей модели АРСС является обратимым) можно записать в представлении СС(оо)):

yt = e-L)a(L)et, (8.32)

или (если полином от оператора сдвига компоненты С С является обратимым) в представлении АР(оо) :

a-1(L)e(L)yt=et. (8.33)

Как 6~г(L)a(L), так и a~1(L)9(L) являются полиномами от оператора сдвига бесконечной длины с ограничениями на коэффициенты.

8.2.2. Обратимость полиномов от оператора сдвига

Как мы видели выше, полином от оператора сдвига первого порядка 1 — 9L является обратимым, если 6 < 1. В этом разделе мы обобщим это условие на полиномы от оператора сдвига любого более высокого порядка. Сначала рассмотрим случай полинома второго порядка, заданного в виде 1 — 6L — 92L2. В общем, мы можем найти значения ф и ф2 такие, что полином можно записать как

1 - 01L - 92L2 = (1 - фіЬ){ - ф2Ь). (8.34)

Легко проверить, что ф и ф2 можно решить из2) ф + ф2 — 01 и —фф2 — 02- Условия обратимости полинома второго порядка — это просто условия, что оба полинома первого порядка 1 — фЬ и 1 — ф2Ь являются обратимыми. Таким образом, условие обратимости состоит в том, что как ф\ < 1, так и ф2 < 1. Эти условия также можно сформулировать в терминах, так называемого, характеристического уравнения:

(1-</>iz)(1-<M = 0. (8.35)

Это уравнение имеет два решения, скажем z и z2, которые называются, характеристическими корнями. Условие ф < 1 соответствует zi > 1. Если какое-нибудь решение удовлетворяет z{ < 1, то соответствующий полином является необратимым. Решение, которое равно единице, называется единичным корнем.

Наличие единичного корня в полиноме от оператора сдвига 0(L) можно обнаружить относительно легко без решения характеристического уравнения, заметив, что полином 9(z), вычисленный в z = 1, р

равен нулю, если 93; = 1. Таким образом наличие первого еди-

ничного корня можно проверить ответив на вопрос, равняется ли единице сумма полиномиальных коэффициентов. Если сумма превышает единицу, то полином не является обратимым. В качестве примера рассмотрим модель АР(2):

yt = l,2yt_i - 0,32yt_2 + Єі. (8.36)

Ее можно записать как

(l-0,8L)(l-0,4L)yt = eu (8.37)

 

Возможно, что ф и ф2 являются парой комплексных чисел, например, если 6 = 0 и 92 < 0. В этом тексте мы будем игнорировать эту возможность.

с характеристическим уравнением

1 - l,2z + 0,32z2 = (1 - 0,8z)(l - 0,4г) = 0. (8.38)

Решения (характеристические корни) равны 1/0,8 и 1/0,4, которые больше единицы. Следовательно, полином АР в выражении (8.36) является обратимым. Заметим, что модель АР(1)

yt = l,2yt-i + et (8.39)

описывает необратимый процесс AR.

Вопрос, действительно ли полином от оператора сдвига обратим, важен по нескольким причинам. Для моделей скользящего среднего или, более обще, для моделей с компонентой скользящего среднего, обратимость полинома СС важна для оценивания и предсказания. Для моделей с авторегрессионной компонентой, полином АР обратим, если и только если, процесс стационарен. В параграфе 8.3 исследуется этот последний вопрос.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |