Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

8.7.7. автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция (АКФ) описывает корреляцию между yt и ее лаговым значением yt-k как функцию от к. Напомним, что коэффициент автокорреляции k-го порядка определяется в виде

_ cov {yu yt-k] _ Jk Рк ~      V{yt}      ~ 70 " Для модели СС(1) мы видели, что

Ct

1 + сг

то есть, только первый коэффициент автокорреляции отличается от нуля. Для модели СС(2)

yt = et + aiEt-i + a2st-2

мы имеем

E{y2} = (l + a2 + a2)a2, E{ytyt-i} = (ai + aia2)a2, E{ytyt-2} = a2a2, E{ytyt-k} = 0,    к = 3,4,5,... .

Эти выражения следуют непосредственно из того, что после двух лагов значения АКФ равны нулю. Результат являются общим для моделей скользящего среднего: для модели СС (q) после q лагов АКФ равна нулю.

Выборочная автокорреляционная функция предоставляет оцененные коэффициенты автокорреляции как функцию от к. Коэффициент pk можно оценить в виде 7)

1 т

jT^k  Е VtVt-k

Pk =    ^          • (8.63)

т

У2г

Таким образом, теоретические ковариации в этом отношении заменены их выборочными оценками. Альтернативно pk можно оценить с помощью регрессии yt на yt-k, что даст немного другую оценку, так как суммирование в числителе и знаменателе будет проводиться по одному и тому же множеству наблюдений. Конечно, обычно несправедливо, что pk равно нулю для модели СС порядка q < к. Но мы можем использовать р/с, чтобы проверить гипотезу, что pk = 0. Для этого мы можем применить асимптотический результат

 

где

vk = 1 + 2р + 2р + ... + 2р,    если   q < к.

Поэтому, чтобы проверить гипотезу, что истинная модель является СС(0) против альтернативы СС(1), мы можем проверить гипотезу р — 0 сравнением критической статистики VTpi с критическими значениями стандартного нормального распределения. Проверка гипотезы CC(fc — 1) против альтернативной гипотезы CC(fc) проводится тестированием pk — 0 и сравнением критической статистики

у/Т      Рк (8.64)

7) Возможны альтернативные состоятельные оценки, которые имеют несколько другое скорректированное число степеней свободы.

 

с критическими значениями из стандартного нормального распределения. Как правило, границы с двумя стандартными ошибками для Pk на основе оцененной дисперсии 1 + 2р2 +... + 2р2_х отображаются на графике выборочной автокорреляционной функции (см. пример в п. 8.7.5 ниже). Таким образом, порядок модели скользящего среднего можно определить из обследования выборочной АКФ. По крайней мере, это даст нам приемлемое значение для д, чтобы с него начать, а диагностическая проверка, которая обсуждается ниже, должна показать, подходит это значение или нет.

Для моделей авторегрессии АКФ менее полезна. Для модели АР(1) мы видели, что коэффициенты автокорреляции не обрываются на конечной длине лага. Вместо этого они стремятся к нулю экспоненциально в соответствии с pk = 0к. Для моделей авторегрессии высшего порядка автокорреляционная функция более сложная. Рассмотрим общую модель АР(2)

yt = вт-1 + 02yt-2 + et.

Чтобы получить автоковариации, удобно взять ковариацию с yt-k от обеих частей последнего соотношения:

cov {yu yt-k} = 01 cov {yt_i, yt-k}+02 cov {yt-2, yt-k}+cov {eu yt-k}. Для к = 0,1, 2 приходим к выражениям

70        = 0i7i + 0272 + °2,

= 0i7o + 027ь

= 0i7i + 0270-

Это множество уравнений, известное как уравнения Юла—Уолке-ра (Yule—Walker), можно решить относительно автоковариации 70, 7i и 72 как функций параметров модели 0і, в2 и а2. Ковариации высшего порядка можно определить рекурсивно из соотношения

Ik = 0i7/c-i + 027/с-2,    к = 2, 3,... ,

которое соответствует дифференциальному уравнению второго порядка. В зависимости от в и в2 структуры АКФ могут быть совсем разными. Следовательно, вообще только реальный эксперт может идентифицировать процесс АР(2) из структуры АКФ, уж не говоря о выборочной структуре АКФ. Альтернативный источник полезной информации предоставляется частной автокорреляционной функцией, обсуждаемой в следующем пункте.

 

8.7.2. Частная автокорреляционная функция

Определим теперь выборочный частный коэффициент автокорреляции fc-ro порядка как оценку для 0^ в модели AP(fc). Мы обозначим его 0^. Так что, при оценивании

yt = 0iyt-i + et

мы получаем 9 ц, в то время как при оценивании

yt = Oiyt-i + 92yt-2 +£t

мы будем иметь в качестве #22, оценку коэффициента при yt-2 в модели АР(2). Частная автокорреляция 9kk измеряет дополнительную корреляцию между у і и Уі-к после корректировок, сделанных для промежуточных значений yt_i, • • • , Vt-k+1 •

Очевидно, что если истинной моделью является процесс АР(р), тогда МНК-оценивание модели АР (к) приводит к состоятельным оценкам для параметров модели, если к > р. Следовательно, мы имеем

plim 9кк = 0,    если   к > р. (8.65)

Кроме того, можно показать, что асимптотическое распределение является стандартным нормальным распределением, то есть.

у/тфкк - 0) -> Л^(0, 1),    если   к > р. (8.66)

Следовательно, частные коэффициенты автокорреляции (или частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ)) можно использовать для определения порядка процесса АР. Тестирование модели АР (к — 1) против модели AP(fc) означает проверку нулевой гипотезы 9кк = 0. При нулевой гипотезе, что модель является моделью АР (/с — 1), приближенная стандартная ошибка 9кк, основанная на асимптотическом распределении (8.66), есть 1/л/Г, так что гипотеза 9кк — 0 отклоняется, если у/Т9кк > 1,96. С точки зрения такой процедуры можно посмотреть на ЧАКФ и протестировать, для каких лагов частный коэффициент автокорреляции отличается от нуля. Для истинной модели АР (р) частные автокорреляции будут близки к нулю после р-го лага.

Для моделей скользящего среднего можно показать, что частные автокорреляции не имеют точки обрыва, но убывают к нулю, точно так же как автокорреляции в модели авторегрессии. В итоге процесс АР(р) описывается:

1.         АКФ, которая бесконечна по протяженности (она убывает).

2.         ЧАКФ, которая равна (близка к) нулю для лагов болыних,чем р.

Для процесса CC(q) мы имеем:

АКФ, которая равна (близка к) нулю для лагов больших, чем q.

ЧАКФ, которая бесконечна по протяженности (она убывает).

При отсутствии любой из этих двух ситуаций, экономное представление данных можно получить с помощью объединенной модели АРСС.

 

8.7.3. Диагностическая проверка

В качестве последнего шага в цикле построения модели требуются некоторые проверки ее адекватности. Такую возможность предоставляет анализ остатков и переподгонка специфицированной модели. Например, если выбрана модель АРСС(р, q) (на основе выборочных АКФ и ЧАКФ). то мы также можем оценить модели АРСС(р + 1, q) и АРСС(р, q + 1) и протестировать значимость дополнительных параметров.

Анализ остатков обычно основан на том факте, что остатки адекватной модели приближенно должны быть белым шумом. График остатков может быть полезным инструментом при проверке выбросов. Кроме того, обычно исследуют оцененные автокорреляции остатков. Напомним, что для ряда белого шума автокорреляции равны нулю. Поэтому значимость автокорреляций остатков часто проверяется сравнением с двумя границами, аппроксимированными стандартной ошибкой ±2/л/Г. Чтобы проверить полную приемлемость автокорреляций остатков, часто применяется критическая статистика Льюнга—Бокса (Ljung, Box, 1978),

(8.67)

Здесь rk — оцененные коэффициенты автокорреляций остатков et, а К — число, выбранное исследователем. Значения Q для разных К можно вычислить в анализе остатков. Для процесса АРСС(р, q) (для yt) статистика Qk приближенно имеет хи-квадрат распределение с К — р — q степенями свободы (при нулевой гипотезе, что модель АРСС(р, q) специфицирована верно). Если на этой стадии модель отклоняется, то цикл построения модели следует повторить. Заметим, что этот тест имеет смысл, только если К > р + q.

 

8.7.4. Критерии для выбора модели

Так как экономическая теория не обеспечивает никакого руководства для соответствующего выбора модели, то можно использовать некоторые дополнительные критерии, чтобы произвести выбор из альтернативных моделей, которые являются приемлемыми со статистической точки зрения. Поскольку общая модель всегда будет обеспечивать лучшую подгонку (в пределах выборки), чем ее ограниченная версия, то все такие критерии являются компромиссами между согласием модели и числом параметров, используемых для получения такой подгонки. Например, если бы модель СС(2) обеспечила бы то же самое соответствие как модель АР (10), то мы предпочли бы первую модель, поскольку она более экономна. Как обсуждалось в главе 3, хорошо известным критерием является информационный критерий Акаике (АИК) (Akaike, 1973). В настоящем контексте он имеет вид:

АИК = log а2 + 2^, (8.68)

где а2 — оцененная дисперсия et- Альтернативным критерием является байесовский информационный критерий Шварца (ШК, БИК или ШБК), предложенный Шварцом (Schwarz, 1978), который имеет вид:

БИК = log а2 +          log Г. (8.69)

Оба критерия основаны на правдоподобии и представляют компромисс между качеством «подгонки», которое измеряется значением логарифма правдоподобия, и «экономией», которая измеряется числом свободных параметров p + q. Если константа включена в модель, то число параметров увеличивается до p+q+1. Обычно модель с наименьшим значением АИК или БИК предпочтительнее, хотя можно отклоняться от этого, если разности в значениях критерия являются малыми для подмножества моделей.

В то время как оба эти критерия основаны на компромиссе между подгонкой и экономией, критерий БИК, возможно, предпочтительнее, так как он имеет свойство выбирать истинную модель почти наверное, если Т —■» оо при условии, что истинная модель находится в классе моделей АРСС(р, q) для относительно малых значений р и q. Критерий АИК имеет тенденцию к получению (асимптотически) перепараметризованных моделей (см. Hannan, 1980).

 

8.7.5. Пример: моделирование ежеквартального располагаемого дохода

В п. 8.4.3 мы видели, что было невозможно отклонить нулевую гипотезу наличия единичного корня в ежеквартальном располагаемом

 

доходе Великобритании. Поэтому в этом пункте мы будем пытаться моделировать временной ряд первых разностей, т. е. приращений в доходе. Выборочная автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция представлена на рисунке 8.7. Мы видим, что и коэффициенты автокорреляции и частные коэффициенты автокорреляции значимо отличаются от нуля в лагах один, два и четыре, в то время как для ЧАКФ существенное значение найдено также в лаге 10. Относительно большую (частную) автокорреляцию в лаге 4 можно объяснить ежеквартальной природой ряда данных.

Анализ выборочных АКФ и ЧАКФ не приводит нас к выбору какой-либо модели, которая приходит на ум. Поскольку можно было бы полагать, что и АКФ, и ЧАКФ равны нулю после лага 4, то можно попытаться рассмотреть оценивание модели АР (4) или СС(4). При условии значимости 10-го лага ЧАКФ спецификация СС(4) априори несколько предпочтительнее. Две модели четвертого порядка оценены после того, как из наблюдений было вычтено среднее значение с тем, чтобы можно было исключить свободный член. Все модели оценены обычным методом наименьших квадратов.

Для модели АР(4) мы получили:

Ayt = -0,121 Ayt-i+ 0,234 Ayt-2- 0,053 Ayt-3+ 0,483 Ayt^+eu

(0,122)            (0,127)            (0,134) (0,137)

Q6 = 2,07 (p = 0,354),   Qi2 = 8,12 (p = 0,422),    a = 632,926, АИК - 901,888,   БИК = 910,060, тогда как оценивание модели СС(4) привело к модели:

Ayt = 0,186 et-i- 0,355 et-2+ 0,138 et-3- 0,432 et-t + eu (0,128)        (0,129)        (0,131) (0,132)

Q6 = 1,70 (p = 0,428),   Q12 = 9,24 (p = 0,323),    5 = 656,387,

АИК = 906,072,   БИК = 914,244.

Ни для одной из спецификаций мы не могли отклонить нулевую гипотезу, что остатки соответствуют процессу белого шума. Статистики Льюнга—Бокса не отклонили автокорреляции остатков для первых і*Г = 6иі^ = 12. Спецификация модели авторегрессии обеспечила лучшую подгонку к данным, чем модель скользящего среднего, хотя обе спецификации содержат, по крайней мере, два незначимых лага.

Интересно увидеть, могла ли более экономная модель обеспечить почти то же самое соответствие (но с меньшим числом параметров). Поскольку (частный) коэффициент автокорреляции третьего порядка Ayt является очень маленьким, то мы рассматривали спецификации АР и СС четвертого порядка, но с исключенным третьим лагом. Это привело к следующей модели авторегрессии:

Ayt= -0,143 Ayt-i- 0,241 Ayt-2+ 0,490 Ayt-A + eu   £ = 622,663,

(0,115)            (0,126) (0,133)

Q6 = 2,13 (p = 0,546),   Q12 = 7,88 (p = 0,546), АИК = 900,074,   БИК = 906,203, в то время как модель скользящего среднего имела вид:

Ayt = 0,133 et-i- 0,336 et-2- 0,413 et-4 + eu   Э = 656,284, (0,129)        (0,129) (0,137)

Q6 = 3,13 (p = 0,372),    Qia = 10,62 (p = 0,303),

АИК = 905,060,   БИК = 911,189.

На основе критериев АИК и БИК обе спецификации можно предпочесть их более общим аналогам, которые включают третий

лаг. Модель авторегрессии, по-видимому, обеспечивает лучшее соответствие, хотя два из ее коэффициентов индивидуально не значимо отличны от нуля (на 5\%-ом уровне). И, наконец, мы рассмотрели модель АР четвертого порядка, которая включает только лаги 2 и 4. Это привело к следующим результатам:

Ayt = 0,266 Ayt-2+ 0,513 Ду,_4 +eu   Э = 626,791 (0,126) (0.133)

Q6 = 4,62 (р = 0,329),   Q12 = 11,66 (р = 0,309),

АИК = 899,890,   БИК - 903,976.

Опять оба критерия, АИК и БИК, поддержали бы эту более экономную модель. Вспомним, что критерий БИК имеет более высокое наказание за дополнительные параметры по сравнению с АИК. Если теперь мы рассмотрели бы исключение второго лага модели, то полученная в результате спецификация больше не была бы приемлема. В частности, статистики Льюнга—Бокса и критерии АИК и БИК имели вид:

Q6 = 12,03 (р - 0,034),   Q12 = 19,23 (р = 0,057),

АИК = 902,750,   БИК = 904,793.

Заметим, что такую модель следует отклонить, хотя модельные остатки являются белым шумом, в то же время критерии АИК и БИК увеличились снова. Таким образом, мы можем заключить, что модель АР(4) с включенными лагами 2 и 4 обеспечивает адекватное описание процесса изменения в ежеквартальном доходе.

 

8.8. Прогнозирование

с помощью моделей АРСС

Главная цель построения модели временного ряда состоит в прогнозировании будущей траектории экономических переменных. Можно заметить, что модели АРСС обычно выполняют это весьма успешно и часто превосходят более сложные структурные модели. Конечно, модели АРСС не дают никакого экономического толкования прогнозов и при альтернативных экономических сценариях оказываются непригодными для прогнозирования. В этом параграфе мы обсудим оптимальную прогнозирующую функцию, которая является просто условным математическим ожиданием будущего значения при данной доступной информации, а также ее вывод для моделей АРСС. Кроме того, мы уделим внимание вопросам точности прогнозирования.

 

8.8. 7. Оптимальная прогнозирующая функция

Предположим, что мы находимся в моменте времени Г и интересуемся предсказанием ут+н, т.е. значением yt на h тактов времени вперед. Прогноз для ут+н будет основан на информационном множестве, обозначенном 1т, содержащем информацию, которая доступна и потенциально применима на момент времени построения прогноза. Идеально это множество содержит всю информацию, которая наблюдается и известна на момент времени Г. При моделировании одномерного временного ряда мы будем обычно предполагать, что информационное множество в любой точке момента времени t содержит значение yt и всех его лагов. Таким образом, мы имеем

1т = {у-оо, • • •, ут-u Ут}. (8.70)

Вообще прогноз ут+нт (т-е- прогноз для ут+h, который построен в момент времени Т) является функцией переменных этого информационного множества 1т- Наш критерий для выбора такой функции из многих возможных функций должен минимизировать (по уT+h т) математическое ожидание квадрата ошибки предсказания

E{(yT+h-yT+h{T)2lT}, (8.71)

где Е{-1т} обозначает условное математическое ожидание при условии заданности информационного множества Тт. Не очень сложно показать, что наилучшим прогнозом для ут+h, при условии заданного информационного множества в момент времени Г, является условное математическое ожидание ут+н при заданной информации Тт- Мы обозначим эту оптимальную функцию как

Ут+нт = Е{ут+н1т}. (8.72)

Поскольку оптимальный прогноз является условным математическим ожиданием, то он удовлетворяет обычным свойствам операторов математического ожидания. Наиболее важно, что условное математическое ожидание суммы является суммой условных математических ожиданий. Далее справедливо, что условное математическое ожидание ут+н при условии информационного множества 1'т, где Т'т — подмножество Тт, в лучшем случае столь же хорошо как Ут+нт, основанное на Хт- В соответствии с нашей интуицией справедливо, что чем более богатое информационное множество применяется для определения прогноза (большее Хт)5 тем лучше прогноз. Например, Е{ут+и,уті Ут-ъ Ут-2, • • •} обычно будет лучшим предиктором, чем Е{ут+иут} или Е{ут+и} (пустое информационное множество).

Для упрощения в последующем мы предполагаем, что параметры в модели АРСС для yt известны. Практически можно было бы заменить неизвестные параметры просто их состоятельными оценками. Теперь, как нам определить эти условные математические ожидания, если yt описывается процессом АРСС? В качестве первого примера рассмотрим процесс АР(1), где

Vt = Oyt-i +et-

Поэтому для ут+1 по предположению справедливо, что

ут+і = Оут + єт+і-

Следовательно,

Ут+і|т = Е{ут+іут, г/т-ъ • • •} =

= 9ут + Е{єт+іут, Ут-ь • • •} = Оут, (8.73)

где последнее равенство следует из того факта, что процесс белого шума непредсказуем. Чтобы предсказать на два такта времени вперед (h — 2), мы напишем

2/Т+2 = ®Ут+і + £т+2,

откуда следует, что

Е{ут+2ут, Ут-и • • •} = 0Е{ут+іут, Ут-ь •. •} = 02ут. (8.74)

В общем мы получаем ут+ит — 0НУт- Таким образом последнее наблюдаемое значение ут содержит всю информацию, чтобы определить прогноз для любого будущего значения. Когда h является большим, прогнозирующая функция для ут+h сходится к 0 (безусловное математическое ожидание yt) при условии, что (конечно) |0| < 1. С ненулевым средним значением наилучший прогноз для Yr+h непосредственно получается как р + ут+нт — ^ + Oh(Yt — р)-Заметим, что он отличается от 9hYT.

В качестве второго примера рассмотрим процесс СС(1), где

yt=€t + OLSt-l.

Тогда мы имеем

Е{ут+\ут, Ут-1, • • •} = аЕ{етут, Ут-ъ • • •} = <хет,

где неявно мы предполагали, что вт наблюдается (содержится в Хт Это предположение является законным при условии, что процесс СС является обратимым. В этом случае мы можем написать

оо

 

Следовательно,

оо

Ут+цт = a^2(-ayyT-j. (8.75)

Прогнозируя на два такта времени вперед, получаем Ут-ь2|т = Е{ет+2ут, ут-и • • •} + аЕ{єт+іут, Ут-ъ ...} = 0. (8.76)

Прогнозирование на два такта времени вперед на основе модели СС(1) является неинформативным: наилучшим прогнозом является просто значение математического ожидания yt, которое при нашей нормировке равно 0. Это также следует из автокорреляционной функции процесса, потому что АКФ равна нулю после одного лага. То есть, «память» процесса — только один период. Для общей модели АРСС(р, q),

Уі = 0iyt-l + • • • + 0pyt-p +St+ aiSt-l + • . . + OLqSt-q,

мы можем получить следующую рекурсивную формулу для определения оптимальных прогнозов

Ут+кт = 9іУт+н-іт+ • • • + 6рУт+н-рт +

+ £т+нт + &i£T+h-iT + • • • + otqST+h-qT, (8.77)

где Єт+кт является оптимальным прогнозом для Єт+к в момент времени Г и

Ут+кт = 2/T+fc,   если   к < 0,

£т+кт — 0,        если   к > 0,

£т+кт =         если   к < 0,

где последнее нововведение может быть определено из авторегрессионного представления модели. Для этого мы использовали тот факт, что процесс является стационарным и обратимым, когда информационное множество {ут5 Ут-ъ • • •} эквивалентно {ет, єт-i, • • •}•

То есть, если все Et известны от — оо до Т, то и все yt известны от -х до Г и наоборот.

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим модель АРСС(1, 1),

где

yt = вуг-1 +st + aet-i,

так что

Ут+\т = 0уТт + eT+vT + <*єтт = бут + аєт-Пользуясь тем, что (предполагая обратимость) соотношение

Vt ~ Oyt-i = (1 + aL)et можно переписать в виде

сю

et = (l + aL)-yt - 9yt-i) = Y,(-a)JLJ(yt ~ Oyt-i),

3=0

для прогноза на один такт времени вперед мы можем написать

оо

Ут+іт = Оут + ос ^2(-a)J(yT-j - вут-j-i)- (8.78)

з=о

Прогнозируя на два такта времени вперед, получим

Ут+2т — 6ут+іт + ^т+2|т + &£т+1т — 9ут+цт- (8.79) Заметим, что это не равно 92ут-

 

8.8.2. Точность прогнозирования

В дополнение к самому прогнозу важно знать (иногда даже более существенно), насколько точен этот прогноз. Чтобы судить о точности прогнозирования, мы определим ошибку прогноза как Ут+h — Ут+/г|т> а математическое ожидание квадрата ошибки предсказания как

Сн = Е{{ут+Н - ут+нт)2} = У{ут+н1т}, (8.80) где последний шаг следует из того факта, что

Ут+нт = E{yT+hlT}.

Определение Сн, соответствующее дисперсии ошибки прогноза на h тактов времени вперед, является относительно легким с представлением в виде скользящее среднего.

Чтобы йачать с самого простого случая, рассмотрим модель СС(1). Тогда мы имеем

С = У{ут+\ут,Ут-1, • • •} =

= V{eT+ + аєтєт, єт-u • • •} = V{eT+i] = сг2.

Альтернативно для прогноза мы получаем решение в явном виде, которое есть ут+\т — осЕт, и определяем дисперсию

Ут+i - Ут+\т = £т+ъ

что приводит к тому же самому результату. Для прогноза на два такта времени вперед мы имеем

С2 = У{ут+2ут, УТ-1, •. •} =

= V{eT+2 + <хєт+ієт,єт-і, • • •} = (і + а2)<72.

Как и ожидалось, точность предсказания уменьшается, если мы прогнозируем дальше в будущее. Однако точность нисколько не будет увеличиваться дальше, если h будет увеличиваться более чем на 2 такта времени. Это становится ясным, если мы сравним математическое ожидание квадрата ошибки прогноза с простым безусловным прогнозом,

Ут+нт = E{yT+h] = О (пустое информационное множество). Для этого прогноза мы имеем

Ch = E{(yT+h - О)2} = V{yT+h} = (1 + а2)а2.

Следовательно, это дает верхнюю границу погрешности прогнозов. Таким образом, модель СС(1) дает более эффективные прогнозы, если она прогнозирует только на один такт времени вперед. Однако более общие модели АРСС дадут выигрыш в эффективности при прогнозировании на большее число тактов времени вперед.

Предположим, что общей моделью является модель АРСС (р, q), которую мы запишем как модель СС(оо) с коэффициентами otj :

оо

Уг = ^2 aJ£t-J   С   ^0 = 1-

3=0

Прогноз на /г-тактов времени вперед (в терминах є^-х) имеет вид Ут+нт = Е{ут+иут, Ут-ъ - • •} =

оо оо = YI aJE{£T+h ~ 3ЄТ,ЄТ-1, • • •} = OLjST+h-j,

так что

h-i

Ут+h ~ Vr+hT= ]Г] otjST+h-j-Следовательно, мы имеем

h-i

E{(yT+h - ут+ь|Т)2} = а2 ]Г a2. (8.81)

i=o

Это показывает, насколько легко можно определить дисперсии ошибок прогноза по коэффициентам модели в представлении скользящего среднего. Вспомним, что для вычисления прогноза самым удобным было авторегрессионное представление.

В качестве иллюстрации рассмотрим модель АР(1), где otj = в3. Математическое ожидание квадрата ошибки прогноза имеет вид

Сг=а2,   С2 = а2(1 + Є2),   С3 = а2(1 + в2 + в4),

и т. д. Для h стремящегося в бесконечность, мы имеем выражение

Соо = а2(1 + Є2 + в4 + .. •)= j-^a>

которое является безусловной дисперсией ytj и, следовательно, — математическим ожиданием квадрата ошибки постоянного прогноза

Vr+hT = E{yT+h} = 0.

Следовательно, полезность информации, содержавшейся в процессе АР(1) медленно убывает во времени. В долгосрочной динамике оптимальный прогноз равен безусловному прогнозу, который является средним значением ряда yt (что имеет место во всех стационарных моделях временного ряда). Заметим, что для случайного блуждания с в = 1 дисперсия ошибки прогноза возрастает линейно с горизонтом прогноза.

В практических случаях параметры в моделях АРСС будут неизвестными и мы заменяем их оцененными значениями. Это вводит дополнительную неопределенность в предикторы. Однако обычно эта неопределенность игнорируется. Мотивация состоит в том, что дополнительная дисперсия, которая возникает из-за ошибки оценивания, асимптотически исчезает, когда объем выборки Г стремится к бесконечности. На практике увеличение дисперсии ошибки прогноза, если его принимать в расчет, обычно является довольно маленьким.

8.9. Пример: теория ожиданий временной структуры

 

Очень часто построение модели временного ряда не цель сама по себе, а необходимый компонент экономического анализа. Чтобы проиллюстрировать это, в настоящем разделе мы уделим внимание временной структуре процентных ставок. Этой временной структуре уделялось значительное внимание, как в макроэкономической литературе, так и в литературе по финансам (см., например, Pagan, Hall, Martin, 1996), а гипотеза ожиданий играла центральную роль во многих из этих исследований.

Чтобы ввести проблему, мы рассмотрим n-срочную дисконтную облигацию, которая является просто требованием оплаты одного доллара, за п периодов от настоящей даты. Цена (рыночная) в момент времени t (в настоящее время) этой дисконтной облигации обозначается pnt. Тогда подразумеваемую процентную ставку rnt можно определить решением уравнения

 

Кривая доходности описывает rnt как функцию от ее срока погашения п и может изменяться от одного периода t к другому. Эта кривая отображает временную структуру процентных ставок. Модели временной структуры пытаются одновременно смоделировать, как связаны различные процентные ставки и как кривая доходности изменяется с течением времени.

Теоретическую гипотезу ожиданий в линеаризованном виде можно записать как

Подпись:
где Xt обозначает информационное множество, содержащее всю информацию, имеющуюся на момент времени t. Эта гипотеза говорит, что долгосрочная процентная ставка является средней величиной математических ожиданий краткосрочных ставок с одинаковым интервалом. Левую часть этого выражения можно интерпретировать как определенный доход n-срочного вклада, в то время как правая часть соответствует ожидаемому ' доходу от вклада в одно-срочные облигации n-срочного горизонта. Таким образом, ожидаемая прибыль на облигации с различными моментами погашения, как предполагают, должна быть одинаковой.

Гипотеза ожиданий в более общей форме учитывает премию за риск, предполагая, что ожидаемые доходы на различные облигации могут отличаться на константы, которые могут зависеть от момента погашения, но не от времени. В более общей форме выражение (8.83) можно написать как

j п — 1

rnt = -V Einj+hfit} + Фп, (8.84) п

h=0

где Фп обозначает рисковую или временную премию, которая изменяется со сроком погашения п. Вместо проверки гипотезы ожиданий в такой форме, которая является предметом многих исследований (см. Campbell, Shiller, 1991), мы будем рассматривать простое выполнение соотношения (8.84). При условии, что временная премия является константой, мы можем завершить описание модели, сделав предположение о релевантном информационном множестве Xt и процессе временного ряда одно-срочной процентной ставки. Для простоты предположим, что

2* = {rit, гм-ъ П,*-2, • •

так что релевантное информационное множество содержит только текущие и лагированные краткосрочные процентные ставки. Если Гц можно описать процессом АР(1):

Щ- jJi = 0(гі,*_і - fi) + еи

с 0 < в < 1, то оптимальный прогноз на s периодов вперед (см. выражение (8.74)) имеет вид

Е{гІ9І+нІі} = » + вн(г1і-Іл).

Подстановка этого выражения в соотношение (8.84) приводит к выражению

^ п—1

rnt = ~ У][/і + 0h(rlt - fl)} + Фп =

h=0

 

Мы предполагаем рациональные ожидания, которые означают, что экономические факторы имеют ожидания, которые соответствуют математическим ожиданиям, условным по некоторому информационному множеству.

Подпись: (8.85)
Подпись: где для 0 < в < 1

 

1-в

п 1-в

< £п-1 < 1

(8.86)

в то время как для 9 — 1 мы имеем £n = 1 для каждого срока погашения п.

Довольно простая модель временной структуры (8.85) подразумевает, что долгосрочные процентные ставки зависят линейно от краткосрочных ставок, и что приращения краткосрочных ставок имеют меньшее влияние на более долгосрочные ставки, чем на более краткосрочные ставки, так как £п уменьшается с п, если 0 < в < 1. Например, заметим, что дисперсия

V{rnt}=enV{ru},

(8.87)

что при 0 < в < 1 означает, что краткосрочные процентные ставки более изменчивы, чем долгосрочные ставки. Результат (8.85) также означает, что существует просто один фактор, который управляет процентными ставками в любом сроке погашения, и соответственно один фактор, который сдвигает временную структуру.

Данные, использованные в этом разделе, взяты из совокупности данных МакКаллоша и Квона (McCulloch, Kwon, 1993). Они доступны в IRATES.

Если вся премия за риск равна нулю (Фп = 0), то возникает обратная кривая процентного дохода (с краткосрочными процентными ставками, превышающими долгосрочные ставки), если краткосрочная ставка выше своего среднего значения //, которая случается в 50\% случаев (если распределение є^, является симметрическим относительно нуля (например, нормальное распределение)). Причина состоит в том, что, если краткосрочная ставка ниже своего среднего значения, то ожидается ее возрастание опять к своему среднему значению, которое увеличивает долгосрочные процентные ставки. На практике мы видим обратные кривые процентного дохода менее чем в 50\% периодов. Например, на рисунке 8.8 мы представили одномесячные и 5-летние процентные доходы по облигациям для Соединенных Штатов 9^ за период с января 1970 г. по февраль 1991 г.

одномесячная ставка                     пятилетняя ставка

 

Рисунок 8.8, Одномесячные и пятилетние процентные ставки (в \%), январь 1970 г. - февраль 1991 г.

 

(Г = 254). Обычно, долгосрочная ставка выше краткосрочной, но есть несколько периодов изменения соотношения на обратное, например, за период с июня 1973 г. по март 1974 г.

Ясно, что свойства временного ряда краткосрочных процентных ставок важны для пространственных соотношений между процентными ставками с различными сроками погашения. Если краткосрочная ставка следует процессу АР(1), то мы получаем довольно простое выражение (8.85), из которого, в частности, следует, что значения £п являются очень чувствительными к точному значению в, особенно для больших сроков погашения, если 9 близко к единице. Для более общих процессов временных рядов мы получаем аналогичные выражения, но результат не будет включать только текущую краткосрочную ставку. Поскольку оптимальный предиктор, например, для модели АР(2) зависит от двух последних наблюдений, то процесс АР(2) для краткосрочной ставки дал бы выражение, аналогичное

(8.85), КОТОрое ВКЛЮЧаеТ Гц И Гі?£_і.

Спорной проблемой является стационарность. Во многих случаях, наличие единичного корня во временном ряде краткосрочной временной процентной ставки невозможно отклонить статистически, но это не обязательно означает, что мы должны принять гипотезу наличия единичного корня. Экономически, по-видимому, сложно отрицать нестационарность процентных ставок, несмотря на то, что их постоянство, как известно, является высоким. Таким образом, даже для стационарного временного ряда требуется очень много времени, чтобы этот ряд возвратился к своему среднему значению. Различные авторы имеют разные суждения по этому вопросу, и можно найти эмпирические исследования временной структуры процентных ставок, в которых обнаруживается как стационарность, так и нестационарность. Сначала оценим модель АР(1) для одномесячной процентной ставки. Оценивание с помощью МНК приводит к соотношению (стандартные ошибки в круглых скобках):

rlt = 0,350 + 0,951 rM_i + et,   Э = 0,820. (8.88) (0,152) (0,020)

Это означает, что оценка для /х равна 0,350/(1 — 0,951), которая соответствует приблизительно 7,2\%, в то время как выборочное среднее равно 7,3\%. Мы можем определить из этой регрессии критическую статистику теста Дики—Фуллера как (0,951 — 1)/0,020 = —2,49 и это означает, что мы не можем отклонить нулевую гипотезу наличия единичного корня ни на 5\%-ом, ни на 10\%-ом уровне значимости10^. Поскольку модель АР(1) возможно слишком ограничена, мы также выполнили ряд расширенных тестов Дики—Фуллера с дополнительно включенными лагами 1, 3 и 6. Полученные критические статистики были равны: —2,63, —2,29 и —1,88 соответственно. Только первый тест подразумевает отклонение нулевой гипотезы на 10\%-ом уровне значимости. Таким образом, мы находим, что наличие единичного корня в краткосрочной временной процентной ставке отклонить статистически не представляется возможным. Несмотря на это, мы не будем полагаться на этот результат в последующем априорно.

Приведенные в таблице 8.1 соответствующие критические значения равны — 2,88 и —2,57 соответственно.

Краткосрочная процентная ставка удивительно хорошо описывается процессом авторегрессии первого порядка в (8.88). Например, оценивание спецификаций АР(2) или АРСС(1, 1) не приводит к значимо лучшим результатам. Оцененная автокорреляционная функция со о "

 

О

 

СМ

О '

 

СО

О 1     

1        2       3       4       5       6       7       8       9      10      11      12      13 14

к

Рисунок 8.9. Автокорреляционная функция остатков, модель АР(1), Гц, январь 1970 г. - февраль 1991 г.

 

остатков модели АР(1) представлена на рисунке 8.9. Она показывает, что мы не можем отклонить нулевую гипотезу о том, и что остаточный член в (8.88) является процессом белого шума.

Способ проверить гипотезу ожиданий состоит в том, чтобы получить регрессию долгосрочной процентной ставки по краткосрочной ставке, то есть

rnt=Pi+02rit + ut. (8.89)

Если соотношение (8.85) считать в точности истинным, то остаточный член в регрессии (8.89) должен быть пренебрежимо малым (то есть, R2 должен быть довольно близок к единице), а истинное значение /?2 должно равняться £п. Результаты этих регрессий для сроков погашения п — 3, 12 и 60 представлены в таблице 8.5. При условии высокой чувствительность £п относительно которое значимо не отличалось от единицы, оцененные значения для £п априорно не кажутся конфликтующими с моделью временного ряда для краткосрочной ставки. Однако следует сказать, что R2 регрессии с пятилетним доходом по облигациям является довольно низким.

Это подразумевает, что в дополнение к краткосрочной ставке на долгосрочный процентный доход влияют другие факторы. Одним из объясняющих факторов является временная вариация страховой премии за риск Фп. Альтернативно наличие ошибок измерений в процентных ставках может уменьшать их пространственные ("cross-sectional") корреляции.

На более общем уровне рассмотренный пример иллюстрирует тонкую зависимость долгосрочных динамических прогнозов от наличия единичного корня. Несмотря на то, что оцененное значение 0,95 отличается от единицы незначимо, принятие гипотезы наличия единичного корня означало бы, что процентные ставки следуют случайному блужданию, и что последнее наблюдаемое значение является прогнозом на любой будущий период. В данном случае это значение равно 5,68\%. Используя 9 = 0,95, оптимальный прогноз на 10 периодов вперед равен 6,3\%, тогда как прогноз на пятилетний горизонт фактически идентичен безусловному среднему значению ряда 7,2\%.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |