Имя материала: Путеводитель по современной эконометрике

Автор: Вербик Марно

8.11. что можно сказать о многомерных моделях?

В этой главе мы сконцентрировались на описании подхода более или менее «чистого временного ряда», т. е. статистического подхода построения адекватной модели (из класса моделей АРСС) для одного наблюдаемого временного ряда. Эту тему мы представили как «одномерные модели временных рядов». Очевидно, что на практике многие экономические (динамические) переменные связаны друг с другом. Однако это не означает, что «чистый» анализ одномерных временных рядов является ошибочным. Построение структурных моделей, в которых переменные связаны друг с другом (часто на основе экономической теории) является другой ветвью эконометрики. Построение структурных моделей приводит к пониманию взаимосвязей между переменными и того, как определенная политика (возмущение) воздействует на экономику (а не просто, каким является ее конечный эффект). Конечно, эти преимущества действительно требуют «корректного» представления лежащей в основе экономики. Подход одномерного временного ряда в большей степени касается прогноза будущих значений, включая будущую неопределенность (дисперсию). В своих выводах «чистый» анализ одномерного временного ряда принимает во внимание только предысторию переменной. Как отмечалось ранее, с прогностической точки зрения подход одномерного временного ряда часто выигрывает у более структурированного подхода.

Чтобы проиллюстрировать соотношения* предположим, что связь между двумя переменными yt и xt описывается следующей

 

Имеются в виду соотношения, анализируемые в структурном подходе, т. е. при моделировании многомерных временных рядов (примеч. научн. ред. перевода) .

моделью регрессии

yt = (3xt +et,

где ві — остаточный член белого шума. Если Xt можно описать некоторой моделью АРСС, то yt является суммой процесса АРСС и процесса белого шума и поэтому является процессом АРСС. Например, если xt можно описать моделью скользящего среднего первого порядка

xt = ut + aut-ъ

где щ — остаток в виде белого шума, не зависящий от St, тогда мы можем написать

yt = (Зщ + a/Зщ-і +et.

Отсюда можно легко получить, что автоковариации yt равны

V{yt} = a2£+(32(l + a2)al

cov {yu yt-i} = (32аа1   и   cov {yu yt-k} = 0

для к = 2, 3,... . Следовательно, yt является процессом скользящего среднего первого порядка с параметрами, оценку для которых можно получить из уравнений для представленных выше ковари-аций. Таким образом, тот факт, что две переменные связаны, не подразумевает, что «чистый» подход одномерных временных рядов не нужен или ошибочен.

В следующей главе мы расширим подход одномерного временного ряда до многомерной постановки. Это позволит нам рассматривать свойства множества временных рядов одновременно, вместе с их краткосрочными и долгосрочными динамическими зависимостями.

 

Упражнения

Упражнение 8.1 (модели АРСС и единичные корни)

Исследователь использует выборку из 200 ежеквартальных наблюдений относительно Yt, числа безработных (в тысячах), чтобы смоделировать поведение временного ряда и построить прогнозы. Сначала он вычислил выборочную автокорреляционную функцию со следующими результатами:

/СІ23456789 10 рк   0,83   0,71   0,60   0,45   0,44   0,35   0,29   0,20   0,11 -0,01

а.         Что мы подразумеваем под выборочной автокорреляционной

функцией? Что показывает вышеупомянутая структура, явля-

ется ли более подходящим представление анализируемой пере-

менной в виде авторегрессии или в виде скользящего среднего?

Почему?

Затем он определил выборочную частную автокорреляционную функцию. Она представлена в виде

/СІ23456789 10

9кк   0,83  0,16  -0,09  0,05  0,04  -0,05  0,01  0,10  -0,03 -0,01

б.         Что мы подразумеваем под выборочной частной автокорреляци-

онной функцией? Почему первая частная автокорреляция равна

первому коэффициенту автокорреляции (0,83)?

в.         Что показывает вышеупомянутая структура, является ли более

подходящим представление процесса в виде авторегрессии или

в виде скользящего среднего? Почему?

Исследователь в качестве первой попытки решает оценить модель авторегрессии первого порядка, имеющей вид

Yt = S + 9Yt-i + St. (8.100)

Оцененное значение для 9 равно 0,83 со стандартной ошибкой 0,07.

г.          Какой метод оценивания подходит для оценки модели АР(1)?

Объясните, почему этот метод является состоятельным.

д.         Исследователь хочет протестировать наличие единичного корня.

Что означает понятие «единичный корень»? Какие последствия

влечет наличие единичного корня? Почему мы интересуются

этим? (Приведите статистические или экономические причины.)

е.         Сформулируйте гипотезу наличия единичного корня, и выпол-

ните ее тестирование, основанное на вышеупомянутой регрессии.

ж. Протестируйте нулевую гипотезу, что 9 — 0,90.

Затем исследователь расширяет модель авторегрессии первого порядка до модели АР(2) со следующими результатами (в круглых скобках стандартные ошибки):

У, = 50,0 + 0,74 Yt-хЛ- 0,16 Yt-2+et. (8.101) (5,67)    (0,07) (0,07)

з. Предпочли бы Вы модель АР(2) модели АР(1)? Как бы Вы проверили, может ли быть модель АРСС(2, 1) более подходящей?

и. Что вышеупомянутые результаты говорят Вам об обоснованности теста наличия единичного корня е?

к. Как бы Вы протестировали наличие единичного корня в модели АР(2)?

л. Используя вышеупомянутые оценки, вычислите оценку среднего числа безработных E{Yt}.

м. Предположим, что последние два ежеквартальных уровня безработицы для третьего и четвертого кварталов 1996 г. были равны 550 и 600 соответственно. Вычислите прогнозы для первого и второго кварталов 1997 г.

н. Можете ли Вы сказать что-то существенное о предсказанном значении для первого квартала 2023 г.? (И его точности?)

 

Упражнение 8.2

(моделирование ежедневной доходности — эмпирическое)

В файлах SP500 доступна ежедневная отчетность по индексу S&P 500 за период с января 1981 г. по апрель 1991 г. (Т — 2783). Отчетные данные вычисляются как первые разности логарифма американского индекса S&P 500 курса акций.

а.         Постройте график ряда и определите выборочную автокорреля-

ционную функцию и выборочную частную автокорреляционную

функцию.

б.         Оцените модели АР(1)-АР(7) и протестируйте индивидуальную

и совместную значимость коэффициентов каждой модели АР.

Почему 1\%-ый уровень значимости или менее был бы более

уместным, чем обычный 5\% уровень значимости?

в.         Выполните тесты Льюнга—Бокса на остаточную автокорреля-

цию для этих семи моделей для К = 6 (когда это приемлемо),

12 и 18.

г.          Сравните значения статистик АПК и БИК. Используйте их

наряду с результатами статистических тестов, чтобы выбрать

предпочтительную спецификацию.

Следующие вопросы относятся к предпочтенной вами спецификации.

д.         Сохраните остатки вашей модели и проверьте нулевую гипо-

тезу против гипотезы р-го порядка авторегрессионной гетерос-

кедастичности (выберите несколько альтернативных значений

для р).

е. Повторно оцените вашу модель, учитывая остатки АРУГ(р) (где р выбрано на основе вышеупомянутых тестов). Сравните эти оценки с оценками из протестированных регрессий, ж. Повторно оцените вашу модель, учитывая остатки ОАРУГ (1, 1).

Имеется ли какой-либо признак нестационарности? з. Повторно оцените вашу модель, учитывая ошибки ЭОАРУГ. (С помощью проверки убедитесь, что программа сошлась.) Имеется ли какое-либо свидетельство асимметрии?

 

9         

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |